Tỉ lệ vàng trên cơ thể người (video)

Hai đại lượng được gọi là có tỉ số vàng (hay tỉ lệ vàng) nếu tỉ số giữa tổng của các đại lượng đó với đại lượng lớn hơn bằng tỉ số giữa đại lượng lớn hơn với đại lượng nhỏ hơn. Tỉ lệ vàng thường được chỉ định bằng ký tự φ (phi) trong bảng chữ cái Hy Lạp nhằm tưởng nhớ đến Phidias, một nhà điêu khắc và kiến trúc sư của đền Parthenon.

Tỉ lệ vàng là một số vô tỷ và bằng
Tỉ lệ vàng có liên hệ mật thiết với dãy Fibonacci và có nhiều ứng dụng trong nghệ thuật (hội họa), kiến trúc và đời sống.
Đoạn băng sau nói về Tỉ lệ vàng (golden ratio) trên cơ thể người.

Dãy Fibonacci trong tự nhiên (video)

Dãy Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần tử 0 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi phần tử luôn bằng tổng hai phần tử trước nó. Công thức truy hồi của dãy Fibonacci là: X(0)=0, X(1)=1, X(n)=X(n-1)+X(n-2), n>1.
39 phần tử đầu tiên của dãy Fibonacci được cho trong bảng sau

n	X(n)	n	X(n)	n	X(n)
0	0	1	1	2	1
3	2	4	3	5	5
6	8	7	13	8	21
9	34	10	55	11	89
12	144	13	233	14	377
15	610	16	987	17	1.597
18	2.584	19	4.181	20	6.765
21	10.946	22	17.711	23	28.657
24	46.368	25	75.025	26	121.393
27	196.418	28	317.811	29	514.229
30	832.040	31	1.346.269	32	2.178.309
33	3.524.578	34	5.702.887	35	9.227.465
36	14.930.352	37	24.157.817	38	39.088.169
...	...	...	...	...	...

Người ta chứng minh được công thức tổng quát của dãy Fibonacci là:
Và đây là video về dãy Fibonacci trong tự nhiên (những hình ảnh rất đẹp)

Góc nhìn Toán học của kiến trúc hiện đại

Kiến trúc trong quá khứ đã làm nhiều thứ tuyệt vời cho hình học. Cùng với nhu cầu đo đạt đất đai, nhu cầu xây dựng nhà cửa của con người đã làm tiên phong khám phá lý thuyết của các mẫu và hình dạng. Nhưng ngày nay, 4500 năm sau khi kim tự tháp vĩ đại được xây ở Ai Cập, Toán học đã làm gì cho Kiến trúc? Ở hội nghị Bridges năm ngoái (hội nghị khám phá mối liên hệ giữa toán học, mỹ thuật và thiết kế), Tạp chí Math Plus có một cuộc gặp gỡ với 2 kiến trúc sư trong nhóm chuyên viên mô hình hóa của Foster + Partners - Brady Peters và Xavier De Kestelier, để có một cái nhìn toán học về công việc của họ.


Tòa thị chính London trên dòng sông Thames. Chú ý cầu thang xoắn ốc bên trong. (Ảnh  © Foster + Partners).

Foster + Partners là một xưởng kiến trúc nổi tiếng thế giới dẫn đầu bởi Norman Foster và một nhóm những cộng sự cấp cao. Nó xây nên những mốc nổi bật như tại số 30 đường Mary Axe ở London (cũng được biết đến là Gherkin), Tòa Thị Chính London và đại sảnh Bảo tàng Anh. Những dự án đang diễn ra bao gồm một trong những những dự án xây dựng lớn nhất hành tinh, sân bay quốc tế Bắc Kinh, cũng như sân trong của Smithsonian Institution ở thành phố Washington và sân vận động Wembley ở London.
Nhiều dự án của Foster + Partners có một điểm chung: chúng rất đồ sộ! Nó có ý nghĩa là những tác động lớn nhất lên môi trường và con người. Thiết kế những thứ tầm cỡ như vậy là một công việc đòi hỏi cân nhắc tỉ mỉ. Một tòa nhà không những cần vững vàng về kết cấu, đẹp về thẩm mĩ, mà còn tuân theo những nguyên tắc tổ chức, nhượng bộ trước sức ép ngân sách, phù hợp tối ưu với mục đích của nó và tối đa hóa hiệu quả năng lượng.Quá trình thiết kế nói tóm lại là một vấn đề phức tạp về sự tối ưu.Và kiến trúc hiện đại khác biệt chủ yếu với kiến trúc Ai cập cổ đại ở trong cách mà vấn đề này đựơc giải quyết. Những công cụ kĩ thuật số tiên tiến có thể phân tích và kết hợp mạng lưới những yêu cầu gây bối rối để tìm giải pháp tối ưu. Toán học mô tả hình dạng của những kết cấu được xây dựng, những đặc điểm vật lí cần phải được hiểu rõ, nó là ngôn ngữ của máy tính, và nó cũng thiết lập những cơ sở cho mọi bước của quá trình mô hình hóa.

Nhóm chuyên viên Mô hình hóa

Nhóm chuyên viên mô hình hóa Foster + Partners (SMG - Specialist Modelling Group), trong đó De Kestelier và Peters là thành viên, được thành lập 1997. công việc của SMG là giúp những kiến trúc sư xây dựng những mô hình ảo cho dự án của họ. De Kestelier nói: ”Thông thường với chúng tôi với một khái niệm có thể là bất cứ cái gì từ một bản phát thảo đến những thứ đã thực sự phát triển rồi. Chúng tôi sau đó giúp họ mô hình chúng sử dụng công cụ CAD (Computer Aided Design), hoặc chúng tôi phát triển những công cụ cho họ”.


Bề mặt toán học phủ bởi các tấm panel - Ảnh Brady Peters

Với sự giúp đỡ của máy tính bạn có thể mô hình hóa khá nhiều khía cạnh của một tòa nhà, từ khía cạnh vật lí cho tới diện mạo. Những mô hình trên máy tính có thể tái tạo cách gió thổi quanh tòa nhà hoặc sóng âm thanh dội lòng vòng bên trong nó. Những chương trình đồ họa có thể khám phá những bề mặt một cách toán học và lấp chúng bằng những tấm panel hoặc các kết cấu bề mặt khác. Và tất cả thông tin mà bạn cần từ những mô hình này có thể  được đẩy cùng nhau vào một cái gì đó là cuộc cách tân quan trọng nhất của công cụ CAD trong kiến trúc trong những năm gần đây: Mô hình hóa tham số.

Mô hình của tòa nhà 30 đường Mary Axe - Ảnh © Foster + Partners.

Mô hình hóa tham số đã nổi lên từ những năm 1960, nhưng mãi cho đến bây giờ những kiến trúc sư mới khai thác trọn vẹn sức mạnh của nó. Những mô hình  cho phép bạn có thể chơi loanh quanh với những đặc điểm nào đó của tòa nhà mà không cần tính toán lại những chi tiết khác bị ảnh hưởng bởi những thay đổi của bạn. Điều này làm chúng trở thành một công cụ cực kì mạnh mẽ. Lấy mô hình của Gherkin bên trái làm ví dụ. Nếu bạn quyết định là tòa nhà thon nhỏ hơn một tí, điều này sẽ gây một hiệu ứng dây chuyền lên những đắc điểm khác. Ví dụ bạn sẽ phải tính lại đường cong bên ngoài và góc của những tấm hình thoi của nó. Đây thực sự nhiều việc và thậm chí khi làm xong, bạn cũng cần phải phác thảo lại, bằng tay hoặc cài lại chương trình cho máy tính của bạn.
 Mô hình hóa tham số làm tất cả cho bạn. Chúng cho phép bạn thay đổi nhều đặc điểm hình học trong khi những đặc điểm đã quyết định sẽ không thay đổi. Chức năng của mô hình có một ít giống như bảng tính: thay đổi một đặc điểm của tòa nhà như thay đổi giá trị trên bảng tính. Với một sự thay đổi, phần mềm sẽ sinh lại mô hình sao cho những mối quan hệ đã được xác định trước được duy trì, như kiểu một bảng tính tính lại tất cả giá trị của nó.
Được SMG cung cấp những công cụ kĩ thuật số, một nhóm thiết kế có thể khám phá một chuỗi những sự lựa chọn cho thiết kế trong một thời gian rất ngắn. Nhóm có thể thay đổi những đặc điểm hình học của ngôi nhà và xem xét tác động của những thay đổi đó, ví dụ như về các đặc tính khí động lực và âm thanh. Họ có thể khám phá một hình dạng phức tạp khó xây dựng có thể đổ xuống những cái đơn giản hơn như thế nào, và họ nhanh chóng tính toán vật liệu cần thiết là bao nhiêu để ước tính chi phí. Kết quả là sự ra đời của những ngôi nhà  mà chỉ vài thập kỉ trước đây điều đó là không thể, cả vì hình dạng phức tạp gần như không thể xây dựng được hay  mức độ họ nghiên cứu khoa học để tương tác tối ưu với môi trường.

Gherkin

Gherkin là một trong những dự án có liên quan đến SMG, và là một ví dụ cơ bản về hình học đã đáp ứng những sức ép như thế nào. Là gọi tên chính thức của tòa nhà 30 St Mary Axe, cao 180m, gấp ba lần thác Niagara. Có 3 đặc điểm chính làm chúng đặc biệt so với hầu hết những tòa nhà chọc trời khác: nó tròn thay vì vuông, nó phình ra ở giữa và thuôn nhọn đến đỉnh, dựa trên một thiết kế xoắn ốc. Tất cả thứ này dễ bị hiểu như những đặc tính thẩm mĩ thuần túy, song chúng đều phục vụ những tiêu chí nhất định.
Vấn đề chính đối với những tòa nhà với kích thước như Gherkin là những dòng không khí xung quanh tạo thành những cơn gió ở đáy, làm cho vùng lân cận trở thành một nơi sống khó chịu. Để giải quyết vấn đề này, SMG khuyên kiến trúc sư sử dụng những mô hình bằng máy tính, cái sử dụng toán học của sự chuyển động, tái tạo đặc tính khí động lực của tòa nhà. Mô hình cho thấy rằng hình trụ phản ứng lại tốt với dòng không khí hơn hình vuông và giảm những luồng gió. Sự thật rằng  tháp phình to ở giữa, đạt đuờng kính tối đa ở tầng 16, cũng giúp giảm đến mức tối thiểu gió ở cái đáy nhỏ hơn của nó.

Một mô hình dòng không khí thổi qua Gherkin - Ảnh © Foster + Partners.
Thậm chí cả khi bạn không bị làm xáo động bởi những làn gió mạnh, thì đứng cạnh một tòa nhà chọc trời cũng rất kì quái. Nó làm bạn lùn đi, nó che khuất những tòa thấp hơn và lấy đi ánh sáng mặt trời. Và hình dạng của Gherkin làm giảm tối đa những hiệu ứng này. Nó phình ra ở giữa và nhỏ lại ở đỉnh, làm cho bạn ko cảm thấy mình nhỏ. Và ánh sang mặt trời và những quang cảnh vẫn có cơ hội lọt xuống đáy.

Cách bố trí sàn nhà Gherkin - Ảnh © Foster + Partners.
Một thứ được quyết định từ đầu là Gherkin nên là một toà nhà bền vững nhất có thể,  điều đó đồng nghĩa với việc chọn một hình dạng để tối đa hóa sự thông gió tự nhiên (tiết kiệm điều hòa không khí) và sự tràn ngập ánh mặt trời (tiết kiệm hóa đơn sưởi ấm và chiều sáng). Sáu góc nhọn tam giác được cắt ra khỏi mặt tròn của mỗi tầng, đâm sâu vào nội thất của tòa nhà. Chúng như nguồn sáng, và những ống thông chúng tạo ra giúp cho sự thông khí. Tuy nhiên các góc không nằm chồng lên nhau. Mô hình khí động học cho thấy sự thông gió sẽ được tối đa nếu một mặt sàn được quay một vài độ so với tầng nằm dưới. Vì vậy, những ống thông, những góc tạo hình xoắn lên cho tòa nhà và tương tác hoàn hảo với dòng không khí gây ra bởi hình dạng bên ngoài của tòa nhà. Cửa sổ bề ngoài các góc mở tự động và cho không khí trong lành vào tòa nhà. Là hệ quả của hình học được chọn lựa kĩ càng, tòa nhà theo báo cáo sử dụng ít hơn 50% năng lựơng so với những tòa cùng kích cỡ.

Bên trong Gherkin. Những góc tam giác được cắt ra khỏi mặt nền tòa nhà. Chúng cung cấp nguồn sáng và tăng sự thông gió - Ảnh © Foster + Partners.

Tòa thị chính London

Tòa thị chính London là nơi ở của thị trưởng thành phố London, Nghị viện London và chính quyền thành phố London. Việc sử dụng cầu thang thủy tinh khổng lồ được cho rằng biểu tượng cho tính minh bạch và dễ tiếp cận của chế độ dân chủ. Tuy vậy điều nổi bật khi nhìn từ bên ngoài chính là hình dạng kì quặc của nó.

Tòa thị chính London bên dòng sông Thames.
Được xây dựng ở trên cao trên bờ dòng sông Thames, tòa nhà có dạng một hòn đá cuội, với hình dạng tròn gợi ý tới lí tưởng dân chủ. Nhưng giống như Gherkin, hình dạng đó không chỉ được chọn chỉ vì hình ảnh của nó, mà còn để tối ưu hóa hiệu quả năng lượng. Một trong những cách để làm điều này là hạn chế tối đa diện tích bề mặt của tòa nhà, khi đó sự tăng hay giảm nhiệt không mong muốn sẽ được ngăn chặn.  Như những nhà toán học trong số các bạn đã biết, trong các khối đặc cùng thể tích, khối cầu có diện tích bề mặt nhỏ nhất. Đó là lí do vì sao Tòa thị chính London có hình dạng gần gjống hình cầu.
Sự không cân xứng của tòa nhà cũng có ích cho hiệu quả năng lượng: những phần nhô ra a sườn phía Nam bảo đảm những cửa sổ ở đây được che bóng bằng các tầng trên, vì vậy giảm nhu cầu làm mát trong mùa hè. Như Gherkin, làm mô hình máy tính cho thấy dòng không khí di chuyển qua tòa nhà và yếu tố hình học trong tòa nhà được chọn để tối đa hóa sự thông khí tự nhiên. Thực tế, tòa nhà hoàn toàn không yêu cầu làm mát và được báo cáo sử dụng một phần tư năng lựơng so với những không gian văn phòng tương đuơng.
Thậm chí cầu thang xoắn ốc cũng không phải được chọn hoàn toàn vì lí do thẩm mĩ. Là một phần của quá trình phân tích, SMG đã làm mô hình sự vang âm trong hành lang ở nghị viện, biểu diễn cho tiếng người nói. Lúc đầu, sự vang âm thật kinh khủng với việc tiếng vang của âm thanh dội vòng quanh trong đại sảnh. Cần vài thứ gì đó để chia không gian ra. Một trong những dự án trong quá khứ của Foster + Partners đã cho một manh mối: Reichstag ở Berlin cung có những đại sảnh lớn, nhưng trong trường hợp này nó được chia cắt bởi một dốc hình xoắn ốc. SMG xây dựng mô hình cầu thang hình xoắn ốc và công ty Arup Acoustics phân tích sự vang âm cho mô hình mới này. Như bạn có thể thấy ở  hình ảnh động bên dưới, âm thanh được giữ lại ở bên dưới cầu thang và tiếng vang sẽ được giảm, và ý tưởng được chấp nhận trong bản thiết kế cuối cùng.

Hình học

Một góc nhìn của Gherkin. Chú ý rằng những tấm panen phẳng gần giống dạng cong -  Ảnh  © Foster + Partners.
Điều làm Gherkin, Tòa thị chính London, và nhiều kết cấu của Foster + Partners trong hiện đại chính là lớp bao phủ bên ngoài được làm bởi những bề mặt cong. Chúng nổi tiếng là rất khó và vì thế rất tốn kém khi sản xuất, và đây là thách thức của hình học: bạn xây dựng chúng tốt nhất từ những hình dạng đơn giản như thế nào?
De Kestelier nói: “Đây là thách thức chính của chúng tôi, thực tế 99% những dự án của chúng tôi tất cả không chứa những bề mặt cong. Lấy Gherkin làm ví dụ, có duy nhất một tấm panen cong và đó chính là thấu kính đặt ở đỉnh”. Sự ấn tượng về độ cong của tòa nhà được tạo ra bởi sự mô phỏng bề mặt cong bởi một số những tấm panel đa cạnh-càng nhiều tấm thì sự ảo giác sẽ giống hơn.
SMG đã trở thành những chuyên gia trong việc tìm giải pháp những tấm panel phẳng để mô tả một bề mặt phức tạp. Và, như De Kestelier giải thích, hình học đôi khi thường được định ra vì kinh tế: “Chúng tôi hướng tới sử dụng những tấm panel tứ giác, vì chúng tiết kiệm hơn. Nó sẽ rẻ hơn khi bạn cắt vật liệu. Với tam giác bạn mất rất nhiều vật liệu, nhưng điều này thì không đối với tứ giác. Nhìn bề ngoài trông cũng đẹp hơn tôi nghĩ thế, bởi vì với những hình tứ giác bạn thấy ít kết cấu hơn”. Điều này được minh hoạ bởi Tòa thị chính London-bề mặt được phủ  hoàn toàn bởi những hình tứ giác.
Thực ra, Tòa thị chính London minh họa tuyệt vời cho nhu cầu làm cân bằng giữa những hình dạng hình học lí tưởng với khả năng xây dựng: hình dạng củ hành vụng về của nó được xử lí bằng những lát cắt. Mỗi lát là một lát cắt của một hình nón hơi nghiêng, cái có thể dễ dàng được mô tả một cách toán học và dễ để mô phỏng bởi các tấm panel phẳng.

Thiết kế hợp lí

Những bề mặt được mô tả bởi những phương trình toán học - như những lát cắt của những hình nón, hình xuyến, hoặc hình cầu- thường định hình nên những cơ sở cho các thiết kế của SMG. Nó thật thuận lợi khi xây dựng những mô hình ảo, vì những bề mặt được ra đời một cách toán học như thế có thể được miêu tả dễ dàng bằng máy tính. Thay vì mô tả một cấu trúc bằng một lượng lớn  những tọa độ được lưu riêng lẻ, bạn chỉ cần lưu một phương trình. Hình dạng chính xác của bề mặt có thể được điều khiển bằng cách thay đổi thông số của phương trình (nhìn những minh họa bên dưới). Giải pháp những tấm panel phẳng vì thế có thể làm mẫu khá dễ dàng: phần mềm chỉ đơn giản vẽ những đường thẳng giữa một loạt các giao điểm trên bề mặt gốc.

Những bề mặt này được vẽ bởi hàm z=e^a(x2-y2). Đây là hệ trục tọa độ được hình thành bởi 3 trục x,y,z. Số a quyết định hình dạng của bề mặt. Hinh thứ nhất a=1, thứ hai a=5 và thứ ba a=7.
Nghĩ những kết cấu phức tạp như là một tập hợp những thành phần được xác định bằng toán học không chỉ có ích trong thế giới ảo: nó còn giúp biến một mô hình thành một bản hướng dẫn từng bước phải xây dựng thực sự ra sao. Quá trình hợp lí hóa làm thành một khâu quan trọng trong công việc của SMG. Nhưng, như trướcđó, sự hoàn hảo toán học phải có sự thiết thực: De Kestelier nói: “Một tuần khác một người nào đó đến với tôi với kế hoạch về bức tường là một phần của 1 elip. Dĩ nhiên 1 elip thật dễ để mô tả tóan học, nhưng tôi quyết định hợp lí hóa mảnh elip này thành 3 cung tròn. Lí do là, khi bức tường được xây, bạn cần đúc một bức tường bê tông. Điều này được thực hiện bằng việc sử dụng một số ô nhỏ phù hợp với nhau cho ra toàn bộ hình dạng. Nếu bạn có 1 elip, những ô đúc của bạn phải khác nhau: độ cong của 1 elip thay đổi liên tục khi bạn đi quanh nó, vì vậy bạn chỉ cần 3 tập hợp ô và các ô trong mỗi tập hợp là như nhau. Điều này dễ hơn nhiều”. Điều lí tưởng đối với một nhà toán học chưa chắc lí tưởng đối với một kiến trúc sư.

Mái nhà của bảo tàng Anh ở London được thiết kế bởi Foster + Partners.

Những nhà thông thái

Thế là SMG sử dụng chương trình máy tính để mô hình hóa cả diện mạo của tòa nhà lẫn hiện tượng vật lí như khí động học và sự vang âm. Những hiểu biết về hình học cung cấp vật liệu trực tiếp cho thiết kế và quá trình xây dựng. Họ có phải là chuyên gia về toán học hơn cả kiến trúc? Hóa ra là 7 trong 8 nhân viên SMG là kiến trúc sư, mặc dù họ thông thạo những ý kiến chuyên môn từ hình học phức tạp và mô phỏng môi trường cho tới thiết kế thông số và lập trình máy tính. Người thứ 8 trong nhóm là một kĩ sư và là ngừơi lập trình chính.
Khi làm mô hình những đặc điểm vật lí dựa trên toán học phức tạp, nhóm thường sử dụng những cố vấn chuyên môn. Peters giải thích: “Chúng tôi làm những phân tích mở đầu với nhóm, nhưng nếu chúng tôi cần biết nhiều hơn, chúng tôi đi đâu đó. Chúng tôi thực hiện vai trò liên lạc giữa cố vấn chuyên môn và nhà thiết kế”. Còn toán học thuần túy, hình học thì sao? Chúng phức tạp như thế nào? De Kestelier nói: “Chúng tôi có một cuốn sách trình độ A trong văn phòng”. Sau cùng, tất cả cũng chỉ là xây những kết cấu có thể xây, nên bất cứ thứ gì đi xa với hình học cổ điển đều không thích hợp ở đây.
Trong khi toán học cố hữu trong phần lớn những hoạt động của SMG, cả Peters và De Kestelier nhấn mạnh rằng hiểu biết của họ về thiết kế là cái làm họ có đủ tiêu chuẩn với công việc. De Kestelier nói “Điều quan trọng cần phải nhận ra là chúng tôi là những kiến trúc sư đi làm lập trình, chứ không phải lập trình viên làm việc về kiến trúc”. Peters đồng ý: “Một trong những thứ chủ yếu chúng tôi làm không phải mô hình hóa, nó chính là hiểu những thông số trong 1 dự án là gì và phân tích chúng thành những quy tắc có thể xác định được”. Đánh giá lạc quan những sức ép, và xây dựng những vật thể có thể xây tất nhiên là công việc mà những kiến trúc sư luôn luôn làm và cả De Kestelier và Peters điều nghĩ về bản chất, công việc của một kiến trúc sư không hề thay đổi. Nhờ những công cụ kĩ thuật số, kiến trúc sư ngày nay có thể khám phá hàng loạt những sự lựa chọn thiết kế mà những thế hệ trước chỉ có thể mơ. Là ngôn ngữ của hình thể và kiểu mẫu, của khoa học và máy tính, toán học cho phép những công cụ này được sử dụng tùy ý- nó đã trả lại những thứ mà nó được hưởng.

(Theo Marianne Freiberger, Tạp chí Plus, Bản dịch của Dương Tấn Vũ)

Số nguyên tố và những điều kỳ thú

Cặp song sinh cảm nhận được số nguyên tố

Cặp song sinh John và Michael được coi là hai người “đần độn bác học” – từ được các nhà khoa học dùng để chỉ những trường hợp bệnh nhân có các trục trực về thần kinh như tự kỷ, thiểu năng trí tuệ, nhưng lại có một khả năng đặc biệt trong một lĩnh vực nào đó như âm nhạc, hội họa, toán, v.v. Cả hai, đều có một trí nhớ tuyệt vời đối với các chi tiết của một ngày bất kỳ, hoặc những việc đã làm hoặc chứng kiến trong quá khứ. Nhưng họ còn có một khả năng đặc biệt hơn đó là nhận ra các số nguyên tố.
Trong một buổi nói chuyện với John và Michael, nhà thần kinh học Oliver Sacks làm rơi một bao diêm và ngay lập tức, cả hai anh em đều kêu lên: “111”. Sau đó , John nói: “37”, Michael cũng nói: “37” và John nhắc lại “37”. Oliver rất ngạc nhiên bèn đếm lại số diêm bị rơi và kết quả ông thu được là 111. Ông hỏi hai anh em: “Làm thế nào mà hai bạn đếm số diêm nhanh đến như vậy?” Hai anh em trả lời: “Chúng tôi không đếm. Chúng tôi đã cảm nhận được số “111”. Oliver hỏi tiếp: “Tại sao các bạn nhắc lại ba lần số 37?” Họ lại đồng thanh: “37, 37, 37, 111”.
Có trí nhớ tuyệt vời nhưng cả John và Michael đều có chỉ số IQ rất thấp (chỉ khoảng 60, so với 100 ở người bình thường) và họ còn không thể thực hiện các phép tính đơn giản như nhân, chia. Nhưng điều này không ngăn cản được họ có niềm say mê những con số vì họ cảm nhận được chúng. Trong trường hợp các que diêm bị rơi, mặc dù không hề biết số nguyên tố là gì, nhưng trong tiềm thức họ đã nhanh chóng phát hiện thấy rằng số 111 có thể được chia thành ba phần bằng nhau (37+37+37=111). Có lần, Oliver còn bắt gặp hai anh em ngồi trong một góc nhà và vui vẻ cùng nhau đọc các con số gồm sáu chữ số. Sau khi kiểm tra, ông thấy đây đều là những số nguyên tố. Hôm sau, ông quyết định thử khả năng nhận biết số của John và Michael bằng cách đọc cho họ một vài con số gồm 8, 10, 12, thậm chí 20 chữ số. Sau 30 giây tập trung cao độ, cả John và Michael đều nhận ra đâu là số nguyên tố.
Vậy khi đọc một con số bất kỳ, chẳng hạn như 167 988 556 314 760 475 137, mà bạn thấy bị kích thích thì hãy thông báo ngay cho một nhà toán học. Rất có thể bạn có năng khiếu đặc biệt giống như John va Michael đấy!

Sống còn nhờ chu kỳ sống theo số nguyên tố

Hiện nay, ở miền Đông nước Mỹ có ba dòng ve sầu Magicicada có cách sống rất kỳ lạ. Sau khi giao phối, ve sầu chui xuống đất đẻ trứng vào gốc cây to rồi bỏ đi. Ấu trùng ve sầu ở lì lại đó suốt 13 hoặc 17 năm liền. Sau một thời gian dài sống nhờ rễ cây như vậy, ấu trùng nở thành ve sầu và chui lên mặt đất, cặp đôi, đẻ trứng rồi chết đi... Và thế hệ con lại tiếp tục chu kỳ 13 hoặc 17 năm của mình.
Theo một số nhà nghiên cứu, chu kỳ 13 và 17 năm (hai số nguyên tố) là yếu tố sống còn của một số loại ve sầu. Lập luận của họ như sau: chim và động vật ăn mồi thích ve sầu có chu kỳ sống khoảng 2 đên 5 năm; với chu kỳ sống 13 hoặc 17 năm, rất lâu sau ve sầu mới phải sống cùng thời gian phát triển đông nhất của kẻ thù ăn thịt mình. Ví dụ, cú 17 x 3 = 51 năm, hoặc 13 x 5 = 65 năm thì mới trùng nhau. Như vậy, một “chu kỳ sống nguyên tố” giúp ve sầu giảm nguy cơ phải sống cùng kẻ thù của mình.
Để có được khả năng này, chắc chắn ve sầu phải trải qua một quá trình tiến hóa dài. Sau nhiều thế hệ, chỉ có những ve sầu có chu kỳ sống là một số nguyên tố mới có khả năng tồn tại đến ngày hôm nay.

Mật mã

Trong suốt nhiều thế kỷ, kỹ thuật mã hóa dựa theo phương pháp cổ truyền: sử dụng một mật mã (có thể là một từ, một văn bản đối chiếu, một dãy số...) để bảo mật thông tin. Người nhận, được người gửi cho biết mật mã, chỉ cần áp dụng quá trình ngược lại là có thể hiểu được thông tin bị mã hóa.
Theo các chuyên gia, đây là phương pháp hai chiều, tức là sử dụng một mật mã để làm hai việc là mã hóa và giải mã. Kỹ thuật này có một nhược điểm là độ bí mật tuyệt đối của mật mã không được đảm bảo. Vì trên thực tế, người gửi phải thông báo cho người nhận mật mã thông qua một hình thức nào đó. Ví dụ, nếu ta muốn chuyển một thông tin mã hóa nào đó cho một người ở rất xa thì ta phải chuyển văn bản chứa đựng thông tin được mã hóa và mật mã cho người đó bằng thư, điện thoại, hoặc Internet và chính vì thế mật mã của bạn (không được mã hóa) sẽ dễ bị người khác biết.
Để đảm bảo độ bí mật, người ta đã áp dụng nguyên lý số nguyên tố. Như chúng ta biết, số nguyên tố rất đặc biệt vì chúng là một số nguyên chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Ta dễ dàng thực hiện phép nhân giữa các số nguyên tố với nhau. Ví dụ, ai cũng có thể nhân được 319489 x 242483 = 774707470337. Nhưng quá trình ngược lại lại rất phức tạp. Ví dụ để kiểm tra xem số 267281174273 có phải là số nguyên tố hay không, ta phải mất rất nhiều thời gian với hàng loạt phép tính mới có thể phát hiện được số này là kết quả của phép nhân giữa 274177 với 974849. Mà đây mới chỉ là những số có ít chữ số. Các bạn hình dung nếu kết quả ban đầu là một số có 20, 30 hay 50 chữ số thì khối lượng các phép toán sẽ khổng lồ đến mức nào!
Ngược lại với các phương pháp hai chiều hay còn gọi là đối xứng, mô hình số nguyên tố cho phép dễ dàng mã hóa thông tin nhưng dường như là không thực hiện được quá trình ngược lại. Ví dụ, chúng ta có thể chọn hai số nguyên tó p và q bất kỳ sau đó nhân chúng với nhau để thu được kết quả N. N chính là mật mã và ai cũng có thể biết được mật mã này và sử dụng nó để khóa một thông tin ai đó gửi cho bạn nhưng không ai biết được kết quả N là phép nhân hai số p và q (hai yếu ốt không thể thiếu để giải mã và chỉ có bạn biết) nên không thể đọc được thông tin mã hóa của bạn. Phương pháp này vừa dễ thực hiện mà độ bảo mật lại rất cao.
Dựa trên nguyên tắc này, các nhà lập trình và quản lý mạng máy tính đã nghĩ ra một hệ thống mã hóa đáp ứng được hai yêu cầu cơ bản là dễ sử dụng và độ bảo mật cao của các thông tin trên mạng Internet mang tên RSA (*) (RSA là tên viết tắt của các thành viên sáng lập: Rivest, Shamir và Adleman). Năm 1991, Phil Zimmermann cũng đã nghĩ ra một phiên bản khác hiệu quả hơn đặt tên là PGP (Pretty Good Privacy). Tất cả mọi người đều có thể truy cập vào PGP thông qua Internet để khóa thông tin của mình.

(Theo Diễn đàn Toán học, Tạp chí Tia Sáng)

Lịch và Toán - Phần 3: Tạo lịch theo phong cách toán

Trong bài viết này, MathVn.Com xin giới thiệu cách xếp lịch theo phong cách toán.
Trước hết bạn tải file sau về (File xếp lịch mẫu: Download) và in nó ra trên giấy A4 thông thường. Nếu thích bạn có thể in mỗi tờ trên mỗi màu giấy khác nhau. Sau đó cắt mỗi tờ làm 4 phần và xếp lại theo các bước dưới đây (xem các hình vẽ):

Nếu bạn không in ra thì có thể gấp theo mẫu dưới đây

Chúc thành công!

(Back link: MATHVN.COM)

Biểu tượng của tình yêu

Dùng hàm implicitplot3d của Maple để vẽ biểu diễn những phương trình này sẽ được hình ảnh trái tim trong không gian 3 chiều (trông như thật !!!)

Video một số phép tính nhanh

Bình phương...

Nhân nhanh ...

Nhân nhanh ...

Chia nhanh ...

Đường cong hình con bướm (butterfly curve)

Có hai đường cong được biết đến với cái tên Butterfly Curve (Đường cong hình con bướm).
Thứ nhất là đường cong bậc 6 có phương trình là

(Cundy and Rollett 1989, p. 72; hình bên trái). Diện tích cả hai cánh được tính bởi


Đường cong thứ hai có phương trình trong hệ tọa độ cực là

(Bourke, Fay 1989, Fay 1997, Kantel-Chaos-Team, Wassenaar; hình bên phải).

Đường cong hình sao và đường cong hình tim

1. Astroid (đường hình sao)

Phương trình tổng quát: x^2/3 + y^2/3 = a^2/3

Phương trình tham số: x = a cos³(t), y = a sin³(t)
Đường cong astroid (đường hình sao) lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Johann Bernoulli trong khoảng 1691 và 1692. Nó cũng xuất hiện trong các bức thư của Leibnitz năm 1715. Đôi khi nó được gọi là tetracuspid vì lý do là nó có bốn cánh.
Độ dài của đường astroid là 6a và diện tích của nó là (3πa^2)/8.
Nó có thể được tạo thành bằng cách quay một đường tròn bán kính a/4 bên trong đường tròn bán kính a.

2. Cardioid (đường hình tim)

Phương trình trong hệ tọa độ Đề-cac: (x² + y² - 2ax)² = 4a²(x² + y²)

Phương trình trong tọa độ cực: r = 2a(1 + cos(theta))
Đường cardioid, được đặt tên bởi de Castillon trong bài báo có tên Philosophical Transactions of the Royal Societyin 1741, nó được sinh ra khi quay một điểm nằm trên một đường tròn tiếp xúc ngoài một đường tròn khác cùng bán kính.

Chiều dài của nó là 16a, diện tích là 6πa².

(Theo DongPhD Blog)

Ngày căn bậc hai (square root day)

Ngày 03/03 /2009, là ngày được những người yêu Toán gọi là ngày căn bậc hai. Đây là ngày lễ không chính thức, nó không phải diễn ra định kỳ hàng năm mà chỉ đến 9 lần trong 1 thế kỷ.
Vậy ngày căn bậc hai là ngày gì?
Đó là ngày mà cả ngày và tháng đều là căn bậc hai của 2 số cuối cùng của năm. Vì vậy, ngày 03 tháng 03 năm nay là 1 ngày như vậy vì ngày 3, tháng 3 đều là căn bậc 2 của 09. Lần gần đây nhất là ngày 02.02.2004 và chúng ta phải đợi hơn 7 năm nữa mới đến ngày căn bậc hai kế tiếp 04.04.2016. Điều đặc biệt nó chỉ diễn ra 9 lần trong thế kỷ này. Đó là các ngày: 01.01.2001 ; 02.02.2004 ; 03.03.2009 ; 04.04.2016 ; 05.05.2025 ; 06.06.2036 ; 07.07.2049 ; 08.08.2064 ; 09.09.2081.
Ngày căn bậc hai đầu tiên được ông Ron Gordon - giáo viên Toán, ở Redwood City, bang California (Mỹ) - tổ chức vào ngày 09.09.1981. Ông cho rằng những ngày này cũng giống như sao chổi, chúng ta cứ chờ, chờ và chờ để xem chúng, và rồi chúng bừng sáng trước khi không còn nữa. (“These days are like calendar comets, you wait and wait and wait for them, then they brighten up your day–and poof–they’re gone” ).
Đặc biệt hơn, một nhóm về ngày căn bậc hai đã được con gái của Gordon thiết lập trên Facebook, và đã thu hút 3,624 thành viên. Tại đó, các thành viên sẽ đưa ra các ý tưởng và cách thức tổ chức lễ hội này, trong đó có hàng tá đề nghị như: tổ chức tỉa rau củ thành khối vuông hoặc làm bánh, cũng như tạo hình người thành 1 khối có hình biểu tượng căn bậc 2. Trong đó, có ý tưởng đề xuất tổ chức ngày căn bậc hai kế tiếp là ngày 16.03.2010 (March 16, 2010) thay vì phải chờ 7 năm. Lý do của đề xuất này là do 3.16 là giá trị xấp xỉ của "căn bậc 2 của 10" . Bạn có thể xem chi tiết và gia nhập nhóm này tại địa chỉ: http://www.facebook.com/board.php?uid=53624283910 .

Ngoài ra, ngày căn bậc hai năm nay còn có giải thưởng trị giá 339 USD trao cho ai tạo được sự việc về toán có ý nghĩa liên quan đến ngày này. Bạn có thể mô tả cụ thể nội dung hoặc gửi hình về hộp thư rgordon@seq.org, hay gửi thư về địa chỉ Ron Gordon at P.O. Box 5133, Redwood City, Calif., 94063. Tuy nhiên, địa chỉ này của ông Gordon lại chẳng liên quan gì đến căn bậc hai cả.
Đây là 1 trong hàng loạt ngày đặc biệt của năm nay dành cho giới yêu thích khoa học. Trước đó, trong tháng 2, giới khoa học đã tổ chức ngày Darwin (Darwin Day), nhân kỷ niệm 200 năm ngày sinh của cha đẻ “Nguồn gốc của các chủng loài”: 14.02.2009. Và tiếp theo sẽ là lễ hội PI Day vào 14/3 (March 14, vì Pi = 3.14...). Sau đó, là ngày lẻ (Odd Day) khi mà các số lẻ liên tiếp xuất hiện theo đúng thứ tự : May 7, 2009. Ngoài ra, còn 1 ngày rất đặc biệt , đó là Mole Day. Lễ hội mừng ngày này sẽ diễn ra vào lúc 6:02 a.m (hoặc p.m) , ngày 23 tháng 10. Vì sao ư? Vì các số số trên sẽ tạo nên Hằng số Avogadro (6,02.10^23), một hằng số quan trọng về phân tử của bộ môn Hóa Học…

(Theo Thụ Nhân Blog)

Một số cách chứng minh định lí Pitago - Phần 2

Cách 3: Chứng minh của Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci (1452 – 1519) là một họa sĩ lớn , một kỹ sư, và là một nhà phát minh lớn người Ý trong thời kỳ phục hưng. Ông nổi tiếng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, và là tác giả của bức họa nổi tiếng nàng Mona Lisa. Ông cũng được tín nhiệm trong cách chứng minh định lý Pitago dưới đây.

Dựng hình và kiểm tra

1. Vẽ một tam giác vuông và các hình vuông trên hai cạnh bên của nó. (Trong hình này bạn không phải vẽ hình vuông trên cạnh huyền).


2. Bạn hãy nối hai đỉnh của hai hình vuông để vẽ được một tam giác vuông thứ hai bằng với tam giác vuông ABC ban đầu.


3. Hãy vẽ một đoạn thẳng đi qua tâm của hình này, đó chính là đoạn thẳng đi qua C và nối hai điỉnh xa nhất của 2 hình vuông (là đường nét đứt trên hình bên).


4. Hãy vẽ trung điểm D của đoạn này.


5. Quan sát hình chúng ta thấy rằng: đây chính là đoạn thẳng chia hình thành 2 phần đối xứng nhau . Chọn tất cả các đoạn thẳng và các điểm nằm ở một phía của đường thẳng này, và tạo một nút hoạt động Hide/Show để làm ẩn /hiện phần hình được đánh dấu này.

Đặt lại tên cho nút này là Hide Reflection.


6. Kích chuột vào nút Hide Reflection này và bạn sẽ thấy được một nửa hình của ban đầu, phần hình đối xứng với nó bị ẩn đi (như hình bên dưới).


7. Đánh dấu điểm D làm điểm tâm và quay toàn bộ hình này 180^o quanh điểm D .


Như vậy chúng ta đã tạo ra một đa giác mới có diện tích đúng bằng diện tích của đa giác ban dầu.


8. Chọn đánh dấu tất cả các đối tượng ( đoạn thẳng và điểm) của phần hình tạo được do xoay một nửa hình ban đầu và tạo1 nút hoạt động nữa. Đặt tên cho nút này là Hide Rotation (xem hình bên dưới).


9. Vẽ đoạn A’B, và đoạn B’A. Như vậy chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy tứ giác BA’B’A chính là hình vuông trên cạnh c


10. Tô màu cho diện tích của hình tứ giác BA’B’A và hai tam giác vuông liền kề nó.


11. Đánh dấu đoạn A’B, và đoạn B’A, và diện tích của 3 đa giác ( gồm 2 tam giác vuông và 1 hình tứ giác), và tạo thêm 1 nút hoạt động . Có tên là Hide c Squared.


Nhận xét: Từ các bước dựng hìnhnhư trên, chúng ta có thể hình dung được cách chứng minh định lý của Leonardo da Vinci:


+ Cách dựng hình ở bước 1 – 4 cho 1 đa giác có 2 nửa đối xứng nhau qua 1 dường thẳng. Đa giác này có diện tích bằng tổng diện tích của 2 hình vuông trên các cạnh bên a, b của tam giác vuông ABC và diện tích của 2 tam giác vuông( có độ dài 2 cạnh bên là a, b).


+ Khi xoay 1 nửa đa giác trên quanh điểm tâm D của đường phân cách 180^o  cho ta một đa giác mới có diện tích đúng bằng diện tích đa giác ba đầu.


+ Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích tứ giác BA’B’A = (a² + b² + 2ab) – 2ab = a² + b² (1)


+ Việc nối A với B’, B với A’ cho ta hình vuông BA’B’A. (Vì AB song song và bằng A’B’ ; A’B và AB’ cũng song song và bằng nhau ). Tứ giác BA’B’A chính là hình vuông có cạnh là c diện tích của hình vuông này là c² (2)


Tử (1) và (2) ta có được c² = a² + b² . Có nghĩa là định lý Pitago được chứng minh.


12. Hãy thử kích vào các nút Hide, sau đó lại kích lại vào chúng. Như vậy bạn sẽ thấy được sự biến đổi của các bước làm trên : từ 1 hình gồm 2 tam giác vuông và 2 hình vuông trên 2 cạnh bên biến đổi thành hình gồm 2 tam giác vuông và 1 hình vuông trên cạnh huyền của chúng. ( mà diện tích của toàn bộ hình không đổi). Đây chính là cách chứng minh định lý của daVinci.

Cách 4: Chứng minh của 1 tổng thống

James A. Garfield đã khám phá ra một cách chứng minh định lý Pitago vào năm 1876, một vài năm trước khi ông ta trở tổng thống Hoa Kỳ. Một điều thú vị là trong ngành toán học không chỉ có một người trở thành tổng thống. Trước Garfield là ông Abraham Lincoln, là một thành viên của tổ chức Euclid là một trong những tác giả của những cuốn sách có sức thuyết phục nhất. Ông vừa là một luật sư vừa là một nhà chính trị. Cách chứng minh của Garfield được minh họa với một hình tương dối đơn giản: là một hình thang.


Dựng hình và kiểm tra .


1. Vẽ một tam giác vuông ABC và đặt tên các đỉnh như hình bên.


2. Đánh dấu điểm B làm tâm và quay cạnh c và điểm A theo B một góc 90^o .( sau bước này ta được hình bên)


3. Nối điểm A và A’ sau đó vẽ một đường thẳng đi qua A’ và song song với cạnh b.


4. Sử dụng công cụ Ray để kéo dài đoạn CB. Và vẽ điểm giao D cỉa của tia này với đường thẳng đi qua A’.


5. Làm ẩn đi tia và đường thẳng đi và thay vào đó là đoạn BD và DA’.


Như vậy ta có tứ giác ACDA’ là 1 hình thang vuông vì :


+ DA’ và CA song song( do cách dựng ở bước 3)


+ Góc ACB vuông( do ABC là tam giác vuông ban đầu) góc CDA’ vuông.


6. Tô màu đa giác theo 3 tam giác vuông bên trong nó.




7. Hãy đo độ dài cạnh a, b, c.Và bạn có thể sử dụng kết quả đo lường này để tính toán diện tích của 3 tam giác và tổng của chúng :


+ Đo độ dài các cạnh bằng cách : di chuột đến cạnh đó và kích chuột phải length


+ Đo diện tích tam giác : kích chuột phải lên tam giác đó chọn Area


+ Tính tổng các tam giác : chọn menu Measure  Calculate.


8. Sử dụng công thức tính diện tích của hình thanhg để tính diện tích hình ACDA’ chỉ dựa vào độ dài các cạnh.( dùng cái gì để đo chiều cao của hình thang vuông ?). Hãy vẽ miền trong đa giác của toàn bộ hình và xác nhận lại các tính toán của bạn đă làm là đúng.


- Trong cách chứng minh này từ cách dựng hình như trên , chúng ta tính được diện tích hình thang ACDA’ theo 2 cách :


Cách 1: Tính theo 3 tham số a, b, c (dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình thang bằng tổng diện tích 3 tam giác vuông trong đó 2 tam giác vuông màu đỏ có diện tích bằng nhau do tính chất của phép quay) thì ta có :


Dt = 2*ab /2 + c*c /2 (1)


Cách 2: tính theo 2 tham số a. b(dựa vào công thức tính diện tích hình thang):


Dt = (a+ b) *(a+b)/2 (2)


Từ (1) và(2) ta có Dt =ab+ c2/2 = (a+b)2/2  c2 = a2 + b2. chính là điều phải chứng minh.

Cách 5: Chứng minh định lý Pitago của Perigal

- Có nhiều cách chứng minh định lý Pitagocó nguồn gốc từ cổ xưa, nhưng lại được chứng minh lại bởi những người không biết đến nguồn gốc cổ xưa của nó. Đây là một cách chứng minh mà được ’ khám phá’ ra bởi nhà toán học Henry Perigal vào năm 1873, nhưng cách chứng minh này lại được biết đến là cách chứng minh của nhà toán học người A- rập Tâbit ibn Qorra.a cách đó hàng nghìn năm.


Dựng hình và kiểm tra


1. Vẽ một hình vuông CADE.


2. Vẽ một hình vuông nhỏ hơn sát ngay hình vuông CADE vừa vẽ sao cho 2 hình vuông này có chung một đỉnh( là A) và đỉnh thứ hai của hình vuông nhỏ nằm trên cạnh DA( đỉnh G)  hình vuông nhỏ tạo được là hình vuông AGFB. Đặt tên cho độ dài cạnh của 2 hình vuông này lần lượt là b, a .


(hình bên minh họa cho bước 1 – 2).


3. Đánh dấu đoạn AB như 1 vectơ và dịch chuyển điểm C theo vectơ này. Cách làm như sau :


--> Chọn ( theo thứ tự) điểm A và điểm B, sau đó chọn Mark Vector từ menu Transform. Sau đó chọn chọn điểm C và chọn Translate từ menu Transform.


4. Vẽ đoạn thẳng EC’ và C’F.


5. Tô màu cho miền trong các đa giác là tam giác ( tam giác ECC’, và tam giác C’FB).






Nhận xét: Chúng ta bắt đầu dựng hình với 2 hình vuông liền kề với nhau, và bên trong của hình này chúng ta dựng hai tam giác vuông :


+ Trong tam giác vuông ECC’ ta có cạnh EC là cạnh hình vuông lớn nên có độ dài là b ; cạnh CC’ là kết quả của việc dịch chuyển điểm C theo vectơ AB nên CC’ dài bằng đoạn AB có độ dài là a.


+ Trong tam giác C’FB ta có cạnh FB là cạnh của hình vuông nhỏ, nên có độ dài là a. Cạnh C’B có độ dài bằng b ( Vì đoạn CC’ dài bằng đoạn AB).


--> Như vậy 2 tam giác vuông ECC’ và C’FB là 2 tam giác có diện tích bằng nhau là
(a*b) /2.


Gọi độ dài cạnh huyền cuả tam giác vuông này là c.


6. Sử dụng công cụ Translator để chuyển dịch tam giác ECC’ từ điểm C đến điểm G , và để chuyển tam giác C’BF từ điểm B tới điểm D.(Xem lại bài tạo công cụ Translator đã giới thiệu)  Việc dịch chuyển các tam giác không làm thay đổi kích thước của các tam giác đó.


7. Đánh dấu điểm E làm tâm và quay điểm C’ một góc 90^o để tạo thành hình vuông EC’FC’’.


Nhận xét:


- Vì EC là cạnh của tam giác vuông ECC’ nên hình vuông EC’FC’’ có diện tích là c².


Vì tam giác vuông ECC’ được di chuyển thành tam giác C’’GF :  góc ECC’ = góc C’’GF( = 90^o ).


Cạnh CC’ = cạnh GF( = a).


Cạnh CE = cạnh GC’’( =b).


 Diện tích tam giác ECC’’= diện tích tam giác C’’GB.


Tương tự ta có : Diện tích tam giác C’BF = diện tích tam giác EDC’’.


Vậy ta có diện tích của tứ giác EC’FC’’ băng tổng diện hai hình vuông có cạnh b, a ban đầu. Nên diện tích EC’FC’’ = a² + b². Đồng thời vì EC’FC’’ cũng là hình vuông có độ dài cạnh bằng độ dài cạnh huyền cuả tam giác vuông có các cạnh bên là b, a( dựng hình bước 7). Nên diện tích của hình vuông EC’FC’’= c² . Hay trong 1 tam giác vuông có c²= a² + b² (c là cạnh huyền, a,b là 2 cạnh bên).

Vậy có nghĩa là ta đã chứng minh được định lý Pitago.

(Theo Tạp chí Tin học và Nhà trường)

Một số cách chứng minh định lí Pitago - Phần 1

Cách 1: Chứng minh của E. A. Coolidge

Cách chứng minh này xuất hiện trong cuốn sách về các vấn đề kinh điển thuộc học thuyết Pitago của tác giả Elisha Scott Loomis, được xuất bản lần đầu tiên bởi Hội đồng giáo viên quốc gia của môn toán học, vào năm 1927. Thật đáng tiếc, quyển sách này hiện nay không được xuất bản nữa, trong cuốn sách này có tới trên 300 cách chứng minh định lý Pitago, trong đó, có nhiều cách chứng minh tương tự nhau, và tất cả các cách chứng minh nổi tiếng đều có trong cuốn sách của Loomis.

Cách chứng minh dưới đây thì tương tự như cách chứng minh của Bhaskara trong phần “Behold!” đã giới thiệu ở bài trước. Cách chứng minh này được đăng trên tạp trí giáo dục, xuất bản hàng ngày, và tác giả của nó là cô E. A. Coolidge - là một người mù.

Dựng hình và kiểm tra

1. Vẽ một tam giác vuông và các hình vuông trên các cạnh của nó (dùng công cụ custom)
2. Kéo dài tia HA, lấy điểm A’ đối xứng với điểm H qua A bằng cách :

+ Chọn đoạn HA và điểm A

+ Chọn menu Transform --> Rotate --> degrees =180

3. Vẽ một đường thẳng đi qua điểm B và vuông góc với đoạn AA’, Vẽ điểm giao K của 2 đường này.

( Hình bên minh họa cho các bước từ 1 đến 3)

4. Vẽ hình vuông A’KLM.

(Sử dụng công cụ Custom tool như đã giới thiệu ở bài 1)

5. Vẽ Đoạn BK, GM, FL.

6. Làm ẩn đi đường BK.

7. Tô màu cho 4 mảnh trong hình vuông trên cạnh huyền.

8. Đánh dấu vectơ EJ và dịch chuyển 4 đỉnh và 4 cạnh của hình vuông BCDE theo vectơ này (để được hình vuông bên dưới hình vuông trên cạnh b có diện tích bằng diện tích hình vuông BCDE )

+ Đánh dấu theo thứ tự điểm E, J

+ Chọn menu Transform --> Mark vector

+ Đánh dấu 4 cạnh và 4 đỉnh của hình vuông BCDE

+ Chọn vào Menu Transform --> Translate.

9. Như vậy miền diện tích trên cạnh b bây giờ là a² + b² . Sử dụng công cụ Translator để di chuyển các các mảnh là bản sao của các mảnh trong hình

vuông trên cạnh huyền vào trong miền có diện tích a² + b² trên cạnh b.

Chú ý:

- Hãy thử thay đổi tam giác của bạn, và quan sát xem các mảnh tương ứng còn lại có bằng nhau nữa không.?

- Chú ý rằng, trong trương hợp dựng hình như thế này cạnh b cần phải luôn được giữ là cạnh bên dài hơn nếu không thì sự dựng hình như trên sẽ bị sai.

- Trường hợp đặc biệt trước khi việc dựng hình bi sai là trương hợp cạnh b dài bằng cạnh a thì hình vuông A’KLM biến mất.

- Bạn hãy giải thích xem tại sao với cách làm trên các mảnh có thể xếp vừa khít với miền diện tích trên cạnh b..

Cách 2: Chứng minh của Ann Condit

Đây cũng là một cách chứng minh được giới thiệu trong cuốn sách của Elisha Scott Loomis. Ann Condit nghĩ ra cách chứng minh này vào năm 1938 khi cô mới 16 tuổi và là sinh viên của trường trung học ở miền nam Ấn Độ.

Dựng hình và kiểm tra

1. Dựng đoạn thẳng AB.

2. Vẽ trung điểm D của đoạn thẳng này

3. Vẽ đường tròn bán kính DA.

4. Vẽ đoạn BC và AC , với C là một điểm nằm trên đường tròn. Như vvậy ta đã dựng được tam giác vuông ABC vuông tại C.

5. Vẽ các hình vuông trên các cạnh của tam giác vuông ABC.

6. Vẽ các trung điểm L, M, N của các cạnh phía ngoài của các hình vuông.

7. Vẽ các đoạn DL, DM, DL.

8. Vẽ đoạn FG, Vẽ tia DC, và điểm P là giao điểm cuat tia DC và đoạn FG, sau đó làm ẩn đi tia DC và hiện đoạn DP.

9. Tô màu khác nhau cho diện tích các tam giác DCF, DCG, và DBK.

Cách chứng minh này đưa ra mối liên quan giữa diện tích của các hình tam giác được tô màu với diện tích của các hình vuông trên các cạnh tam giác vuông.

Chọn menu Measure --> calculate để tính được tỉ lệ diện tích của các tam giác với các hình vuông tương ứng.

10. Đo diện tích các tam giác, và di chuyển điểm C quanh một nửa đường tròn trên đường kính AB.

Ta nhận thấy: tổng diện tích của 2 tam giác nhỏ luôn bằng diện tích của tam giác lớn hơn. Và tổng diện tích này không đổi khi điểm C chuyển động trên đường tròn. (xem hình bên dưới).


Nhận xét:
Bạn có thể đã phát hiện ra rằng tổng diện tích của 2 tam giác nhỏ luôn bằng diện tích của tam giác lớn hơn( DBK). Nếu bạn có thể chứng minh được điều này là đúng , và nếu bạn có thể liên hệ từ các diện tích này Với diện tích của các hình vuông, thì bạn sẽ chưngd minh được định lý Pitago. Sau đây là các bước gợi ý để giúp bạn chứng minh định lý.

1. Các tam giác DCG, DCF, và DBK cóchiều dài 1 cạnh bằng nhau đó là : DC và BD( cì đều bằng bán kính đườn tròn.

2. Đoạn PF và PG theo thứ tự là đường cao của 2 tam giác DCF và DCG.

3. Chỉ ra rằng dt DCG + dt DCF = dt DBK.

4. So sánh DCF, DCG, DBK theo thứ với diện tích của các hình vuông CFEB, CAHG, BAGK ?

5. Nếu bạn làm được những yêu cầu trên thì bạn đã chứng minh được định lý Pitago.

(Theo Tạp chí Tin học và Nhà trường)