Số nguyên tố và những điều kỳ thú

Cặp song sinh cảm nhận được số nguyên tố

Cặp song sinh John và Michael được coi là hai người “đần độn bác học” – từ được các nhà khoa học dùng để chỉ những trường hợp bệnh nhân có các trục trực về thần kinh như tự kỷ, thiểu năng trí tuệ, nhưng lại có một khả năng đặc biệt trong một lĩnh vực nào đó như âm nhạc, hội họa, toán, v.v. Cả hai, đều có một trí nhớ tuyệt vời đối với các chi tiết của một ngày bất kỳ, hoặc những việc đã làm hoặc chứng kiến trong quá khứ. Nhưng họ còn có một khả năng đặc biệt hơn đó là nhận ra các số nguyên tố.
Trong một buổi nói chuyện với John và Michael, nhà thần kinh học Oliver Sacks làm rơi một bao diêm và ngay lập tức, cả hai anh em đều kêu lên: “111”. Sau đó , John nói: “37”, Michael cũng nói: “37” và John nhắc lại “37”. Oliver rất ngạc nhiên bèn đếm lại số diêm bị rơi và kết quả ông thu được là 111. Ông hỏi hai anh em: “Làm thế nào mà hai bạn đếm số diêm nhanh đến như vậy?” Hai anh em trả lời: “Chúng tôi không đếm. Chúng tôi đã cảm nhận được số “111”. Oliver hỏi tiếp: “Tại sao các bạn nhắc lại ba lần số 37?” Họ lại đồng thanh: “37, 37, 37, 111”.
Có trí nhớ tuyệt vời nhưng cả John và Michael đều có chỉ số IQ rất thấp (chỉ khoảng 60, so với 100 ở người bình thường) và họ còn không thể thực hiện các phép tính đơn giản như nhân, chia. Nhưng điều này không ngăn cản được họ có niềm say mê những con số vì họ cảm nhận được chúng. Trong trường hợp các que diêm bị rơi, mặc dù không hề biết số nguyên tố là gì, nhưng trong tiềm thức họ đã nhanh chóng phát hiện thấy rằng số 111 có thể được chia thành ba phần bằng nhau (37+37+37=111). Có lần, Oliver còn bắt gặp hai anh em ngồi trong một góc nhà và vui vẻ cùng nhau đọc các con số gồm sáu chữ số. Sau khi kiểm tra, ông thấy đây đều là những số nguyên tố. Hôm sau, ông quyết định thử khả năng nhận biết số của John và Michael bằng cách đọc cho họ một vài con số gồm 8, 10, 12, thậm chí 20 chữ số. Sau 30 giây tập trung cao độ, cả John và Michael đều nhận ra đâu là số nguyên tố.
Vậy khi đọc một con số bất kỳ, chẳng hạn như 167 988 556 314 760 475 137, mà bạn thấy bị kích thích thì hãy thông báo ngay cho một nhà toán học. Rất có thể bạn có năng khiếu đặc biệt giống như John va Michael đấy!

Sống còn nhờ chu kỳ sống theo số nguyên tố

Hiện nay, ở miền Đông nước Mỹ có ba dòng ve sầu Magicicada có cách sống rất kỳ lạ. Sau khi giao phối, ve sầu chui xuống đất đẻ trứng vào gốc cây to rồi bỏ đi. Ấu trùng ve sầu ở lì lại đó suốt 13 hoặc 17 năm liền. Sau một thời gian dài sống nhờ rễ cây như vậy, ấu trùng nở thành ve sầu và chui lên mặt đất, cặp đôi, đẻ trứng rồi chết đi... Và thế hệ con lại tiếp tục chu kỳ 13 hoặc 17 năm của mình.
Theo một số nhà nghiên cứu, chu kỳ 13 và 17 năm (hai số nguyên tố) là yếu tố sống còn của một số loại ve sầu. Lập luận của họ như sau: chim và động vật ăn mồi thích ve sầu có chu kỳ sống khoảng 2 đên 5 năm; với chu kỳ sống 13 hoặc 17 năm, rất lâu sau ve sầu mới phải sống cùng thời gian phát triển đông nhất của kẻ thù ăn thịt mình. Ví dụ, cú 17 x 3 = 51 năm, hoặc 13 x 5 = 65 năm thì mới trùng nhau. Như vậy, một “chu kỳ sống nguyên tố” giúp ve sầu giảm nguy cơ phải sống cùng kẻ thù của mình.
Để có được khả năng này, chắc chắn ve sầu phải trải qua một quá trình tiến hóa dài. Sau nhiều thế hệ, chỉ có những ve sầu có chu kỳ sống là một số nguyên tố mới có khả năng tồn tại đến ngày hôm nay.

Mật mã

Trong suốt nhiều thế kỷ, kỹ thuật mã hóa dựa theo phương pháp cổ truyền: sử dụng một mật mã (có thể là một từ, một văn bản đối chiếu, một dãy số...) để bảo mật thông tin. Người nhận, được người gửi cho biết mật mã, chỉ cần áp dụng quá trình ngược lại là có thể hiểu được thông tin bị mã hóa.
Theo các chuyên gia, đây là phương pháp hai chiều, tức là sử dụng một mật mã để làm hai việc là mã hóa và giải mã. Kỹ thuật này có một nhược điểm là độ bí mật tuyệt đối của mật mã không được đảm bảo. Vì trên thực tế, người gửi phải thông báo cho người nhận mật mã thông qua một hình thức nào đó. Ví dụ, nếu ta muốn chuyển một thông tin mã hóa nào đó cho một người ở rất xa thì ta phải chuyển văn bản chứa đựng thông tin được mã hóa và mật mã cho người đó bằng thư, điện thoại, hoặc Internet và chính vì thế mật mã của bạn (không được mã hóa) sẽ dễ bị người khác biết.
Để đảm bảo độ bí mật, người ta đã áp dụng nguyên lý số nguyên tố. Như chúng ta biết, số nguyên tố rất đặc biệt vì chúng là một số nguyên chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Ta dễ dàng thực hiện phép nhân giữa các số nguyên tố với nhau. Ví dụ, ai cũng có thể nhân được 319489 x 242483 = 774707470337. Nhưng quá trình ngược lại lại rất phức tạp. Ví dụ để kiểm tra xem số 267281174273 có phải là số nguyên tố hay không, ta phải mất rất nhiều thời gian với hàng loạt phép tính mới có thể phát hiện được số này là kết quả của phép nhân giữa 274177 với 974849. Mà đây mới chỉ là những số có ít chữ số. Các bạn hình dung nếu kết quả ban đầu là một số có 20, 30 hay 50 chữ số thì khối lượng các phép toán sẽ khổng lồ đến mức nào!
Ngược lại với các phương pháp hai chiều hay còn gọi là đối xứng, mô hình số nguyên tố cho phép dễ dàng mã hóa thông tin nhưng dường như là không thực hiện được quá trình ngược lại. Ví dụ, chúng ta có thể chọn hai số nguyên tó p và q bất kỳ sau đó nhân chúng với nhau để thu được kết quả N. N chính là mật mã và ai cũng có thể biết được mật mã này và sử dụng nó để khóa một thông tin ai đó gửi cho bạn nhưng không ai biết được kết quả N là phép nhân hai số p và q (hai yếu ốt không thể thiếu để giải mã và chỉ có bạn biết) nên không thể đọc được thông tin mã hóa của bạn. Phương pháp này vừa dễ thực hiện mà độ bảo mật lại rất cao.
Dựa trên nguyên tắc này, các nhà lập trình và quản lý mạng máy tính đã nghĩ ra một hệ thống mã hóa đáp ứng được hai yêu cầu cơ bản là dễ sử dụng và độ bảo mật cao của các thông tin trên mạng Internet mang tên RSA (*) (RSA là tên viết tắt của các thành viên sáng lập: Rivest, Shamir và Adleman). Năm 1991, Phil Zimmermann cũng đã nghĩ ra một phiên bản khác hiệu quả hơn đặt tên là PGP (Pretty Good Privacy). Tất cả mọi người đều có thể truy cập vào PGP thông qua Internet để khóa thông tin của mình.

(Theo Diễn đàn Toán học, Tạp chí Tia Sáng)