Chúng thuộc về họ - Phần 2

Carl Friedrich Gauss ông vua toán học và việc dựng đa giác đều 17 cạnh(a regular 17-sided polygon)

Định lí:"Một đa giác đều 17 cạnh có thể được dựng bằng thước kẻ và compa"

Chứng minh:
Chứng minh được xuất bản trong Section VII trong tác phẩm nổi tiếng của Gauss, Disquisitiones Arithmeticae.
Theo Gauss để dựng một đa giác đều như thế nội tiếp trong một đườngtròn bán kính 1 chỉ cần dựng được một cạnh có độ dài

Một số lưu ý

Nếu là một trong các nghiệm của phương trình có dạng




Đặt



và



Từ đó bằng tính toán



Chúng ta biết rằng nếu cho truớc các cạnh có độ dài thì ta có thể bằng thước và compa dựng đuợc các đoạn thẳng có độ dài lần lượt là trị tuyệt đối các nghiệm của phương tình




Bằng cách đó ta dựng được các cạnh



Cuối cùng ta đựợc

Những thiên tài Toán học điên

“Điên”, “cuồng chữ” theo đúng nghĩa đen của nó. Những con số nhảy múa không ngừng, những suy luận trừu tượng vượt quá giới hạn tự nhiên, những áp lực vươn tới sự hoàn hảo... như thể đã băm vụn trí óc siêu việt của các thiên tài.

1. Georg Cantor (1845 - 1918): “Chúa trời là một... số vô cực”

Nói về nhà toán học người Đan Mạch Georg Cantor, người ta luôn ca ngợi trí thông minh tuyệt đỉnh của ông với sự ngưỡng mộ, sùng kính, thậm chí còn đôi chút tôn thờ. Lý thuyết tập hợp của Cantor ra đời cuối thế kỉ 19 đầu thế kỉ 20 đã giúp ông giải quyết nhanh gọn “nghịch lý Zénon” dựa trên ý tưởng có thể so sánh hai đại lượng vô hạn với nhau....

Quả thật, những suy luận trừu tượng kiểu này dễ khiến người ta phát điên. Và thiên tài Cantor cũng không là ngoại lệ. Về già, ông mắc chứng thần kinh điên loạn, dành trọn những năm cuối đời ngồi tỉ mẩn chứng minh: Chúa trời là một... số vô cực và Francis Bacon đã viết nên những tác phẩm kinh điển của Shakespeare.


2. Alexandre Grothendieck (1928): Nhà toán học ẩn dật

Alexandre Grothendieck đã từng là nhà môi trường và người ủng hộ chủ nghĩa cộng sản rất tích cực. Năm 30 tuổi, ông trở thành một trong những giáo sư đầu tiên của Viện toán Insitiut des Hautes Etudes Scientifiques ở Pháp, là một trong 6 “giáo sư suốt đời” của IHES đạt giải thưởng danh tiếng Fields, góp phần đưa IHES phát triển thành trung tâm toán học gạo cội của thế giới. Có thể nói, Grothendieck là một trong những nhà toán học có ảnh hưởng quan trọng nhất thế kỷ 20.

Điều vô cùng thú vị, nhân vật tên tuổi lẫy lừng ấy đã tới... Việt Nam giảng dạy và nghiên cứu trong suốt những năm tháng bom đạn ác liệt nhất (năm 1967). Ông không mảy may phiền hà khi những buổi học bị ngắt quãng hàng chục lần vì máy bay, không ngại về các vùng quê xa xôi sơ tán. Thậm chí trước lúc sang Việt Nam, Grothendieck đã giành toàn bộ va-li của mình để mang sách vở sang tặng các nhà toán học nước bạn, do đó chỉ có một bộ quần áo duy nhất mặc trên người.

Năm 42 tuổi, Grothendieck lui về sống ẩn dật tại vùng núi Pyrénées nước Pháp, hạn chế tối đa giao tiếp với thế giới bên ngoài. Tuy nhiên hàng ngàn trang bản thảo vẫn được ông đều đặn gửi ra cho đồng nghiệp và được lưu truyền trong giới toán học suốt mấy chục năm qua.


3. Oliver Heaviside (1850 - 1925): Nhà phát minh lập dị và điên loạn

Năm 30 tuổi, kỹ sư cơ khí kiêm nhà toán học người Anh Oliver Heaviside đã đưa ra một phát minh vô cùng quan trọng: biến các phương trình vi phân về dạng số học giản đơn. Không thể diễn tả phát minh này đã ảnh hưởng sâu sắc tới việc nghiên cứu bộ môn vi phân - tích phân như thế nào.

Đáng buồn thay đến những năm cuối cùng của cuộc đời, Heaviside vốn dĩ đã sống lập dị lại càng tỏ ra điên loạn hơn. Ông sơn móng tay bằng màu hồng lòe loẹt - hành động quá sức điên rồ ở những năm 1920, tống tháo tất cả mọi đồ đạc trong nhà ra ngoài đường, thay thế bằng những khối đá granite đủ kích thước và hình thù kỳ dị.


4. Walter Petryshyn: Mưu sát vợ vì... hoang tưởng

Năm 1996, cuốn sách về chức năng của hồi quy và tương quan phi tuyến vừa xuất bản thì nhà toán học người Mỹ gốc Ukraina Walter Petryshyn bỗng phát hiện trong đó tồn tại một sai lầm chết người. Áp lực lo sợ bị cộng đồng nghiên cứu dè bỉu nặng nề đã khiến ông hóa điên - theo cả nghĩa đen lẫn nghĩa bóng. Sự quẫn trí và hoang tưởng đã đưa đẩy ông đến hành vi mưu sát vợ năm 1997.


5. Evariste Galois (1811 - 1832): Bỏ mạng trong một cuộc đấu súng

Có một thực tế đã trở thành chân lý: đã là thiên tài toán học thì không bao giờ xuất sắc trong đấu súng tay đôi. Nhưng dường như chưa ai từng nói điều này cho Evariste Galois - thần đồng toán học người Pháp thế kỷ 19, người đã đóng góp vào ngành số học của nhân loại bằng một lý thuyết nổi tiếng mang chính tên ông (lý thuyết Galois).

Tuy nhiên Galois đã không may mắn sống tới lúc tên tuổi được vinh danh. Chàng trai trẻ bỏ mạng trong một cuộc đấu súng khi vừa tròn 20 tuổi. Điều bất thường ở thiên tài này ở chỗ: Ông đã dàn dựng trận đấu y hệt một cuộc phục kích bắt bớ của cảnh sát, với hy vọng cái chết của mình sẽ châm ngòi cho cuộc cách mạng dân chủ sau này.

(Theo Dân trí)

Một số cách chứng minh định lí Pitago - Phần 2

Cách 3: Chứng minh của Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci (1452 – 1519) là một họa sĩ lớn , một kỹ sư, và là một nhà phát minh lớn người Ý trong thời kỳ phục hưng. Ông nổi tiếng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, và là tác giả của bức họa nổi tiếng nàng Mona Lisa. Ông cũng được tín nhiệm trong cách chứng minh định lý Pitago dưới đây.

Dựng hình và kiểm tra

1. Vẽ một tam giác vuông và các hình vuông trên hai cạnh bên của nó. (Trong hình này bạn không phải vẽ hình vuông trên cạnh huyền).


2. Bạn hãy nối hai đỉnh của hai hình vuông để vẽ được một tam giác vuông thứ hai bằng với tam giác vuông ABC ban đầu.


3. Hãy vẽ một đoạn thẳng đi qua tâm của hình này, đó chính là đoạn thẳng đi qua C và nối hai điỉnh xa nhất của 2 hình vuông (là đường nét đứt trên hình bên).


4. Hãy vẽ trung điểm D của đoạn này.


5. Quan sát hình chúng ta thấy rằng: đây chính là đoạn thẳng chia hình thành 2 phần đối xứng nhau . Chọn tất cả các đoạn thẳng và các điểm nằm ở một phía của đường thẳng này, và tạo một nút hoạt động Hide/Show để làm ẩn /hiện phần hình được đánh dấu này.

Đặt lại tên cho nút này là Hide Reflection.


6. Kích chuột vào nút Hide Reflection này và bạn sẽ thấy được một nửa hình của ban đầu, phần hình đối xứng với nó bị ẩn đi (như hình bên dưới).


7. Đánh dấu điểm D làm điểm tâm và quay toàn bộ hình này 180^o quanh điểm D .


Như vậy chúng ta đã tạo ra một đa giác mới có diện tích đúng bằng diện tích của đa giác ban dầu.


8. Chọn đánh dấu tất cả các đối tượng ( đoạn thẳng và điểm) của phần hình tạo được do xoay một nửa hình ban đầu và tạo1 nút hoạt động nữa. Đặt tên cho nút này là Hide Rotation (xem hình bên dưới).


9. Vẽ đoạn A’B, và đoạn B’A. Như vậy chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy tứ giác BA’B’A chính là hình vuông trên cạnh c


10. Tô màu cho diện tích của hình tứ giác BA’B’A và hai tam giác vuông liền kề nó.


11. Đánh dấu đoạn A’B, và đoạn B’A, và diện tích của 3 đa giác ( gồm 2 tam giác vuông và 1 hình tứ giác), và tạo thêm 1 nút hoạt động . Có tên là Hide c Squared.


Nhận xét: Từ các bước dựng hìnhnhư trên, chúng ta có thể hình dung được cách chứng minh định lý của Leonardo da Vinci:


+ Cách dựng hình ở bước 1 – 4 cho 1 đa giác có 2 nửa đối xứng nhau qua 1 dường thẳng. Đa giác này có diện tích bằng tổng diện tích của 2 hình vuông trên các cạnh bên a, b của tam giác vuông ABC và diện tích của 2 tam giác vuông( có độ dài 2 cạnh bên là a, b).


+ Khi xoay 1 nửa đa giác trên quanh điểm tâm D của đường phân cách 180^o  cho ta một đa giác mới có diện tích đúng bằng diện tích đa giác ba đầu.


+ Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích tứ giác BA’B’A = (a² + b² + 2ab) – 2ab = a² + b² (1)


+ Việc nối A với B’, B với A’ cho ta hình vuông BA’B’A. (Vì AB song song và bằng A’B’ ; A’B và AB’ cũng song song và bằng nhau ). Tứ giác BA’B’A chính là hình vuông có cạnh là c diện tích của hình vuông này là c² (2)


Tử (1) và (2) ta có được c² = a² + b² . Có nghĩa là định lý Pitago được chứng minh.


12. Hãy thử kích vào các nút Hide, sau đó lại kích lại vào chúng. Như vậy bạn sẽ thấy được sự biến đổi của các bước làm trên : từ 1 hình gồm 2 tam giác vuông và 2 hình vuông trên 2 cạnh bên biến đổi thành hình gồm 2 tam giác vuông và 1 hình vuông trên cạnh huyền của chúng. ( mà diện tích của toàn bộ hình không đổi). Đây chính là cách chứng minh định lý của daVinci.

Cách 4: Chứng minh của 1 tổng thống

James A. Garfield đã khám phá ra một cách chứng minh định lý Pitago vào năm 1876, một vài năm trước khi ông ta trở tổng thống Hoa Kỳ. Một điều thú vị là trong ngành toán học không chỉ có một người trở thành tổng thống. Trước Garfield là ông Abraham Lincoln, là một thành viên của tổ chức Euclid là một trong những tác giả của những cuốn sách có sức thuyết phục nhất. Ông vừa là một luật sư vừa là một nhà chính trị. Cách chứng minh của Garfield được minh họa với một hình tương dối đơn giản: là một hình thang.


Dựng hình và kiểm tra .


1. Vẽ một tam giác vuông ABC và đặt tên các đỉnh như hình bên.


2. Đánh dấu điểm B làm tâm và quay cạnh c và điểm A theo B một góc 90^o .( sau bước này ta được hình bên)


3. Nối điểm A và A’ sau đó vẽ một đường thẳng đi qua A’ và song song với cạnh b.


4. Sử dụng công cụ Ray để kéo dài đoạn CB. Và vẽ điểm giao D cỉa của tia này với đường thẳng đi qua A’.


5. Làm ẩn đi tia và đường thẳng đi và thay vào đó là đoạn BD và DA’.


Như vậy ta có tứ giác ACDA’ là 1 hình thang vuông vì :


+ DA’ và CA song song( do cách dựng ở bước 3)


+ Góc ACB vuông( do ABC là tam giác vuông ban đầu) góc CDA’ vuông.


6. Tô màu đa giác theo 3 tam giác vuông bên trong nó.




7. Hãy đo độ dài cạnh a, b, c.Và bạn có thể sử dụng kết quả đo lường này để tính toán diện tích của 3 tam giác và tổng của chúng :


+ Đo độ dài các cạnh bằng cách : di chuột đến cạnh đó và kích chuột phải length


+ Đo diện tích tam giác : kích chuột phải lên tam giác đó chọn Area


+ Tính tổng các tam giác : chọn menu Measure  Calculate.


8. Sử dụng công thức tính diện tích của hình thanhg để tính diện tích hình ACDA’ chỉ dựa vào độ dài các cạnh.( dùng cái gì để đo chiều cao của hình thang vuông ?). Hãy vẽ miền trong đa giác của toàn bộ hình và xác nhận lại các tính toán của bạn đă làm là đúng.


- Trong cách chứng minh này từ cách dựng hình như trên , chúng ta tính được diện tích hình thang ACDA’ theo 2 cách :


Cách 1: Tính theo 3 tham số a, b, c (dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình thang bằng tổng diện tích 3 tam giác vuông trong đó 2 tam giác vuông màu đỏ có diện tích bằng nhau do tính chất của phép quay) thì ta có :


Dt = 2*ab /2 + c*c /2 (1)


Cách 2: tính theo 2 tham số a. b(dựa vào công thức tính diện tích hình thang):


Dt = (a+ b) *(a+b)/2 (2)


Từ (1) và(2) ta có Dt =ab+ c2/2 = (a+b)2/2  c2 = a2 + b2. chính là điều phải chứng minh.

Cách 5: Chứng minh định lý Pitago của Perigal

- Có nhiều cách chứng minh định lý Pitagocó nguồn gốc từ cổ xưa, nhưng lại được chứng minh lại bởi những người không biết đến nguồn gốc cổ xưa của nó. Đây là một cách chứng minh mà được ’ khám phá’ ra bởi nhà toán học Henry Perigal vào năm 1873, nhưng cách chứng minh này lại được biết đến là cách chứng minh của nhà toán học người A- rập Tâbit ibn Qorra.a cách đó hàng nghìn năm.


Dựng hình và kiểm tra


1. Vẽ một hình vuông CADE.


2. Vẽ một hình vuông nhỏ hơn sát ngay hình vuông CADE vừa vẽ sao cho 2 hình vuông này có chung một đỉnh( là A) và đỉnh thứ hai của hình vuông nhỏ nằm trên cạnh DA( đỉnh G)  hình vuông nhỏ tạo được là hình vuông AGFB. Đặt tên cho độ dài cạnh của 2 hình vuông này lần lượt là b, a .


(hình bên minh họa cho bước 1 – 2).


3. Đánh dấu đoạn AB như 1 vectơ và dịch chuyển điểm C theo vectơ này. Cách làm như sau :


--> Chọn ( theo thứ tự) điểm A và điểm B, sau đó chọn Mark Vector từ menu Transform. Sau đó chọn chọn điểm C và chọn Translate từ menu Transform.


4. Vẽ đoạn thẳng EC’ và C’F.


5. Tô màu cho miền trong các đa giác là tam giác ( tam giác ECC’, và tam giác C’FB).






Nhận xét: Chúng ta bắt đầu dựng hình với 2 hình vuông liền kề với nhau, và bên trong của hình này chúng ta dựng hai tam giác vuông :


+ Trong tam giác vuông ECC’ ta có cạnh EC là cạnh hình vuông lớn nên có độ dài là b ; cạnh CC’ là kết quả của việc dịch chuyển điểm C theo vectơ AB nên CC’ dài bằng đoạn AB có độ dài là a.


+ Trong tam giác C’FB ta có cạnh FB là cạnh của hình vuông nhỏ, nên có độ dài là a. Cạnh C’B có độ dài bằng b ( Vì đoạn CC’ dài bằng đoạn AB).


--> Như vậy 2 tam giác vuông ECC’ và C’FB là 2 tam giác có diện tích bằng nhau là
(a*b) /2.


Gọi độ dài cạnh huyền cuả tam giác vuông này là c.


6. Sử dụng công cụ Translator để chuyển dịch tam giác ECC’ từ điểm C đến điểm G , và để chuyển tam giác C’BF từ điểm B tới điểm D.(Xem lại bài tạo công cụ Translator đã giới thiệu)  Việc dịch chuyển các tam giác không làm thay đổi kích thước của các tam giác đó.


7. Đánh dấu điểm E làm tâm và quay điểm C’ một góc 90^o để tạo thành hình vuông EC’FC’’.


Nhận xét:


- Vì EC là cạnh của tam giác vuông ECC’ nên hình vuông EC’FC’’ có diện tích là c².


Vì tam giác vuông ECC’ được di chuyển thành tam giác C’’GF :  góc ECC’ = góc C’’GF( = 90^o ).


Cạnh CC’ = cạnh GF( = a).


Cạnh CE = cạnh GC’’( =b).


 Diện tích tam giác ECC’’= diện tích tam giác C’’GB.


Tương tự ta có : Diện tích tam giác C’BF = diện tích tam giác EDC’’.


Vậy ta có diện tích của tứ giác EC’FC’’ băng tổng diện hai hình vuông có cạnh b, a ban đầu. Nên diện tích EC’FC’’ = a² + b². Đồng thời vì EC’FC’’ cũng là hình vuông có độ dài cạnh bằng độ dài cạnh huyền cuả tam giác vuông có các cạnh bên là b, a( dựng hình bước 7). Nên diện tích của hình vuông EC’FC’’= c² . Hay trong 1 tam giác vuông có c²= a² + b² (c là cạnh huyền, a,b là 2 cạnh bên).

Vậy có nghĩa là ta đã chứng minh được định lý Pitago.

(Theo Tạp chí Tin học và Nhà trường)

Một số cách chứng minh định lí Pitago - Phần 1

Cách 1: Chứng minh của E. A. Coolidge

Cách chứng minh này xuất hiện trong cuốn sách về các vấn đề kinh điển thuộc học thuyết Pitago của tác giả Elisha Scott Loomis, được xuất bản lần đầu tiên bởi Hội đồng giáo viên quốc gia của môn toán học, vào năm 1927. Thật đáng tiếc, quyển sách này hiện nay không được xuất bản nữa, trong cuốn sách này có tới trên 300 cách chứng minh định lý Pitago, trong đó, có nhiều cách chứng minh tương tự nhau, và tất cả các cách chứng minh nổi tiếng đều có trong cuốn sách của Loomis.

Cách chứng minh dưới đây thì tương tự như cách chứng minh của Bhaskara trong phần “Behold!” đã giới thiệu ở bài trước. Cách chứng minh này được đăng trên tạp trí giáo dục, xuất bản hàng ngày, và tác giả của nó là cô E. A. Coolidge - là một người mù.

Dựng hình và kiểm tra

1. Vẽ một tam giác vuông và các hình vuông trên các cạnh của nó (dùng công cụ custom)
2. Kéo dài tia HA, lấy điểm A’ đối xứng với điểm H qua A bằng cách :

+ Chọn đoạn HA và điểm A

+ Chọn menu Transform --> Rotate --> degrees =180

3. Vẽ một đường thẳng đi qua điểm B và vuông góc với đoạn AA’, Vẽ điểm giao K của 2 đường này.

( Hình bên minh họa cho các bước từ 1 đến 3)

4. Vẽ hình vuông A’KLM.

(Sử dụng công cụ Custom tool như đã giới thiệu ở bài 1)

5. Vẽ Đoạn BK, GM, FL.

6. Làm ẩn đi đường BK.

7. Tô màu cho 4 mảnh trong hình vuông trên cạnh huyền.

8. Đánh dấu vectơ EJ và dịch chuyển 4 đỉnh và 4 cạnh của hình vuông BCDE theo vectơ này (để được hình vuông bên dưới hình vuông trên cạnh b có diện tích bằng diện tích hình vuông BCDE )

+ Đánh dấu theo thứ tự điểm E, J

+ Chọn menu Transform --> Mark vector

+ Đánh dấu 4 cạnh và 4 đỉnh của hình vuông BCDE

+ Chọn vào Menu Transform --> Translate.

9. Như vậy miền diện tích trên cạnh b bây giờ là a² + b² . Sử dụng công cụ Translator để di chuyển các các mảnh là bản sao của các mảnh trong hình

vuông trên cạnh huyền vào trong miền có diện tích a² + b² trên cạnh b.

Chú ý:

- Hãy thử thay đổi tam giác của bạn, và quan sát xem các mảnh tương ứng còn lại có bằng nhau nữa không.?

- Chú ý rằng, trong trương hợp dựng hình như thế này cạnh b cần phải luôn được giữ là cạnh bên dài hơn nếu không thì sự dựng hình như trên sẽ bị sai.

- Trường hợp đặc biệt trước khi việc dựng hình bi sai là trương hợp cạnh b dài bằng cạnh a thì hình vuông A’KLM biến mất.

- Bạn hãy giải thích xem tại sao với cách làm trên các mảnh có thể xếp vừa khít với miền diện tích trên cạnh b..

Cách 2: Chứng minh của Ann Condit

Đây cũng là một cách chứng minh được giới thiệu trong cuốn sách của Elisha Scott Loomis. Ann Condit nghĩ ra cách chứng minh này vào năm 1938 khi cô mới 16 tuổi và là sinh viên của trường trung học ở miền nam Ấn Độ.

Dựng hình và kiểm tra

1. Dựng đoạn thẳng AB.

2. Vẽ trung điểm D của đoạn thẳng này

3. Vẽ đường tròn bán kính DA.

4. Vẽ đoạn BC và AC , với C là một điểm nằm trên đường tròn. Như vvậy ta đã dựng được tam giác vuông ABC vuông tại C.

5. Vẽ các hình vuông trên các cạnh của tam giác vuông ABC.

6. Vẽ các trung điểm L, M, N của các cạnh phía ngoài của các hình vuông.

7. Vẽ các đoạn DL, DM, DL.

8. Vẽ đoạn FG, Vẽ tia DC, và điểm P là giao điểm cuat tia DC và đoạn FG, sau đó làm ẩn đi tia DC và hiện đoạn DP.

9. Tô màu khác nhau cho diện tích các tam giác DCF, DCG, và DBK.

Cách chứng minh này đưa ra mối liên quan giữa diện tích của các hình tam giác được tô màu với diện tích của các hình vuông trên các cạnh tam giác vuông.

Chọn menu Measure --> calculate để tính được tỉ lệ diện tích của các tam giác với các hình vuông tương ứng.

10. Đo diện tích các tam giác, và di chuyển điểm C quanh một nửa đường tròn trên đường kính AB.

Ta nhận thấy: tổng diện tích của 2 tam giác nhỏ luôn bằng diện tích của tam giác lớn hơn. Và tổng diện tích này không đổi khi điểm C chuyển động trên đường tròn. (xem hình bên dưới).


Nhận xét:
Bạn có thể đã phát hiện ra rằng tổng diện tích của 2 tam giác nhỏ luôn bằng diện tích của tam giác lớn hơn( DBK). Nếu bạn có thể chứng minh được điều này là đúng , và nếu bạn có thể liên hệ từ các diện tích này Với diện tích của các hình vuông, thì bạn sẽ chưngd minh được định lý Pitago. Sau đây là các bước gợi ý để giúp bạn chứng minh định lý.

1. Các tam giác DCG, DCF, và DBK cóchiều dài 1 cạnh bằng nhau đó là : DC và BD( cì đều bằng bán kính đườn tròn.

2. Đoạn PF và PG theo thứ tự là đường cao của 2 tam giác DCF và DCG.

3. Chỉ ra rằng dt DCG + dt DCF = dt DBK.

4. So sánh DCF, DCG, DBK theo thứ với diện tích của các hình vuông CFEB, CAHG, BAGK ?

5. Nếu bạn làm được những yêu cầu trên thì bạn đã chứng minh được định lý Pitago.

(Theo Tạp chí Tin học và Nhà trường)

Chúng thuộc về họ - Phần 1

If I have seen a little further it is by standing on the shoulders of Giants. (Isaac Newton)

Trong loạt bài viết mới này chúng ta sẽ trình bày các định lý được sinh ra bởi các nhà toán học vĩ đại. Hãy bắt đầu với Euler - bậc thầy của chúng ta.
Định lí:
Sau đây là chứng minh gốc của Euler.
Ta sẽ dùng các công thức sau
Nhị thức Newton

Định nghĩa số e

Theo nhị thức Newton ta có

Cho ta có

Công thức khai triển Taylor

Áp dụng cho


và

với mọi số phức z.
Thay vào công thức cuối, kết hợp với các công thức ở trên ta có

Những lời giải ấn tượng cho các bất đẳng thức lượng giác quen thuộc

Dưới đây là 4 lời giải được lấy trong cuốn sách "Hệ thức lượng giác" của Trần Phương cho 4 bất đẳng thức lượng giác rất quen thuộc. Theo như lời bình luận ở trang 9 của cuốn sách này thì đây là những cách giải mới nhất, ngắn nhất và độc đáo nhất, chưa xuất hiện trong bất cứ cuốn sách nào của tác giả khác đã xuất bản trên thế giới. Các lời giải này đều sử dụng bất đẳng thức đơn giản:

trong khi các lời giải khác đều chứng minh dựa vào (hoặc theo sơ đồ của) bất đẳng thức Jensen.

Chuyện vui nghề dạy học - Phần 2

Không thầy đố mày làm nên
Trong giờ đạo đức, thầy giáo đang giảng về công ơn của thầy cô. Thầy giáo hỏi cả lớp:
- Các em hãy cho thầy biết một câu tục ngữ, ca dao về người thầy.
Lớp im lặng. Thầy giáo gợi ý: - Câu này có 2 chữ "mày" và "nên".
Lớp vẫn im lặng. Thầy giáo lại gợi ý: - Câu này có cả 2 chữ "không" và "đố".
Lớp tiếp tục im lặng. Thầy giáo điên tiết: - Câu này có 6 chữ, có cả 2 chữ "thầy" và "làm". Ðây là câu gì?
Cuối lớp có 1 cánh tay rụt rè giơ lên. - Em cho biết đó là câu gì? - Thầy giáo vui mừng hỏi.
- Thưa thầy đó là câu "Làm thầy mày không nên đố" !

Nỏ thần An Dương Vương
Thầy giáo kiểm tra đầu giờ: - Ai ăn cắp nỏ thần của An Dương Vương?
Cả lớp im lặng. Thầy giáo bực quá bèn chỉ vào một học sinh hỏi: - Ai ăn cắp nỏ thần của An Dương Vương?
Học sinh sợ sệt: - Dạ, không phải em ạ.
Thầy bực quá đập bàn rầm rầm. Vừa lúc đó thầy Hiệu trưởng đi qua, thấy lớp ồn ào nên vào. Thầy giáo phân bua: - Học sinh hồi này tệ quá. Tui hỏi ai ăn cắp nỏ thần của An Dương Vương mà không có học sinh nào trả lời được.
Thầy hiệu trưởng vỗ vai thầy giáo: - Anh nói với anh Vương có gì cứ làm bản báo cáo với tui, tui sẽ đề nghị Ban giám hiệu trích quỹ ra đền, làm ầm ĩ lên làm gì mang tiếng chết!

Nói dối
Trên giảng đường, giáo sư tâm lý học nói:
-Bây giờ chúng ta đề cập đến khái niệm "nói dối". Về vấn đề này, tôi đã viết trong công trình nghiên cứu khoa học của tôi, nhan đề "Bàn về sự nói dối". Các anh, các chị, ai đã đọc cuốn sách ấy thì giơ tay lên.
Tất cả sinh viên đồng loạt giơ tay.
- Tuyệt lắm!, ông giáo sư nói tiếp, chúng ta vừa có một ví dụ rất sinh động cho bài giảng hôm nay. Cuốn sách của tôi còn chưa in xong.

Toán trong văn
Trong giờ văn của một lớp chuyên Toán, cô giáo ôn tồn hỏi:
- Em nào cho cô một ví dụ về văn tả thực?
Một học sinh nhanh nhẩu:
- Thưa cô nếu cô đứng yên thì chiều rộng của cô bằng một nửa cái bàn ạ.
Cô giáo: ??!!

Giáo dục nên bắt đầu từ ...
Nhà trường tiểu học nọ mời phụ huynh học sinh tới dự. Thầy giáo chủ nhiệm giới thiệu với những người đến dự cuộc họp về kinh nghiệm giáo dục học sinh:
- Giáo dục trẻ em, đầu tiên cần bắt đầu từ đây...
Ông ta chỉ, chỉ vào đầu mình.
Một phụ huynh đứng dậy, nói:
- Tôi giáo dục cậu con trai của tôi, ban đầu cũng bắt đầu từ cái đầu của nó, ai ngờ mới một gậy mà đã lăn ra ngất luôn. Thực tiễn chứng minh, vẫn là nên bắt đầu từ mông của con là tốt hơn.

Đã đăng: Phần 1: Thầy giáo lười

MIC (Maths.vn Inequality Contest) 2009 - Đề thi và đáp án

MIC (Maths.vn Inequality Contest) là cuộc thi giải Toán do Diễn đàn Maths.vn tổ chức. Về hình thức, cuộc thi này rất giống với VMEO của Diễn đàn toán học. Tuy nhiên về nội dung thi khác hoàn toàn. Trong khi VMEO ra đề toàn diện và khá giống với đề thi của IMO ( Olympic Toán học Quốc tế ) thì MIC chỉ hạn chế trong các bài toán bất đẳng thức. Hơn nữa VMEO ra đề theo tháng còn thời hạn nộp bài cho MIC chỉ có 5 ngày.
Cuộc thi này vừa kết thúc và theo công bố của BTC thì không nhiều bạn tham gia giải.

Dưới đây là đề thi và đáp án chi tiết của MIC 2009 (3 vòng) do BTC đưa lên Diễn đàn Maths.vn:

• Đề thi 3 vòng (trong 1 file PDF, 832KB): Download
• Đáp án 3 vòng (trong 1 file PDF, 1,06MB): Download

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Đây là một vấn đề không được dạy chính thức ở chương trình phổ thông nhưng lại là một dạng toán thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi về Toán và MTBT. Hai tập tài liệu sau đây sẽ đưa ra một số phương pháp để tìm công thức tổng quát của một dãy số.
Download ở các link dưới đây:

• Chuyên đề của thầy Nguyễn Tất Thu: Download
• Chuyên đề của thầy Trần Duy Sơn: Download

Các bạn có thể xem trực tiếp ở đây:

Tuyển tập 5 năm Tạp chí Toán học Tuổi trẻ (1991 - 1995)

Sau cuốn "Tuyển tập 30 năm Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ", Nhà xuất bản Giáo dục cho ra đời tuyển tập này. Hiển nhiên nó bao gồm các bài viết chất lượng trên THTT trong 5 năm, từ 1991 - 1995.
Sách dày hơn 160 trang và gồm hai phần. Phần thứ nhất là các bài viết chọn lọc theo chủ đề. Phần thứ hai là các bài viết sắp xếp theo các phân môn: Số học, Giải tích-Đại số, Hình học-Lượng giác.
Cuốn sách là tài liệu tham khảo quý giá cho quý thầy cô giáo dạy Toán và các học sinh, sinh viên yêu Toán.
Download tại đây: Download