Mặc dù Đại hội Toán học thế giới (International Congress of Mathematics) tới tháng 8 năm 2010 mới được tổ chức, nhưng ngay từ bây giờ, giới Toán học Việt Nam đã rất nóng lòng chờ đợi ngày Ngô Bảo Châu được vinh danh.
 |
| Giáo sư toán học Ngô Bảo Châu. |
Để thấy được ý nghĩa công trình của Giáo sư Ngô Bảo Châu, chúng ta hãy tìm hiểu đôi nét về “bổ đề cơ bản”.
Ta hãy quay về với quá trình chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat, hay còn gọi là Định lý lớn Fermat. Định lý này được Pierre de Fermat, nhà toán học Pháp kiệt xuất, nêu lên vào thế kỷ 17, nhưng không để lại chứng minh! Và, vì thế, nó đã trở thành một thách đố làm bối rối những bộ óc vĩ đại nhất của nhân loại trong hơn ba thế kỷ! Thoạt nhìn, định lý thật giản đơn: Phương trình x^n + y^n = z^n không có nghiệm nguyên dương khi n > 2.
Định lý lớn Fermat khiến ta nhớ tới một định lý đã được Pythagore, nhà toán học Hy Lạp cổ đại, chứng minh vào thế kỷ 6 trước Công nguyên, thường gọi là Định lý Pythagore: x^2 + y^2 = z^2 (nếu trong một tam giác vuông ta coi cạnh huyền là z, các cạnh góc vuông là x và y).
Thế nhưng, hơn ba thế kỷ trôi qua, không ai chứng minh được Định lý lớn Fermat!
Giữa thế kỷ 20, hai nhà toán học Nhật Bản Yukata Taniyama và Goro Shimura đưa ra phỏng đoán thiên tài (về sau gọi là Giả thuyết Taniyama - Shimura) rằng mỗi phương trình eliptic đều có liên hệ với một dạng modular. Nếu giả thuyết này đúng, thì nó sẽ tạo điều kiện để giải quyết nhiều bài toán eliptic cho đến nay chưa giải quyết được, bằng cách tiếp cận chúng qua thế giới modular. Và, như vậy, hai thế giới eliptic và modular vốn tách biệt nhau, sẽ có thể thống nhất.
Trong những năm 1960, R. Langlands và những người cộng tác tại Đại học Princeton (Mỹ) đưa ra một loạt giả thuyết về những mối liên hệ giữa nhiều ngành toán học vốn rất khác nhau, và kêu gọi giới toán học quốc tế hợp tác chứng minh những giả thuyết cấu thành chương trình Langlands.
Nếu những giả thuyết mang màu sắc tư biện ấy, vào một ngày đẹp trời nào đó, được chứng minh, thì sẽ mang lại những kết quả vô cùng to lớn cho toán học. Khi ấy, bất cứ một bài toán chưa giải được trong một lĩnh vực nào đều có thể biến đổi thành một bài toán tương tự trong một lĩnh vực khác, và các nhà toán học có thể huy động cả một kho to lớn những kỹ thuật mới để giải nó.
Thế nhưng, cho đến lúc bấy giờ, thì chưa có một giả thuyết nào trong chương trình đầy tham vọng của Langlands được chứng minh, kể cả giả thuyết nổi tiếng nhất là Giả thuyết Taniyama - Shimura.
Mùa thu năm 1984, tại một hội nghị toán học tổ chức trong khu Rừng Đen ở CHLB Đức, Gerhard Frey đi tới một kết luận đầy kịch tính, rằng nếu chứng minh được Giả thuyết Taniyama - Shimura, thì cũng có nghĩa là chứng minh được Định lý lớn Fermat, bởi vì định lý này chỉ là một hệ quả của giả thuyết trên.
Kết luận đó kích thích mạnh lòng “cuồng nhiệt” của Andrew Wiles, một nhà toán học người Anh làm việc tại Mỹ. A. Wiles lặng lẽ tự giam mình bảy năm liền trên một gian gác xép, cam lòng chịu cảnh “lưu đày cô đơn” để bí mật tìm kiếm lời giải cho bài toán “xuyên thế kỷ”!
Để rồi trong ba phiên họp liên tiếp vào mấy ngày 21, 22 và 23/6/1993 tại Viện Isaac Newton ở Cambridge, Vương quốc Anh, quê hương A. Wiles, ông ta viết chi chít trên hai tấm bảng lớn, đột ngột thông báo chứng minh Giả thuyết Taniyama - Shimura mà Định lý lớn Fermat chỉ là một hệ quả. Lúc ấy, nhiều người thành thật nghĩ rằng đó là “buổi thông báo toán học quan trọng nhất thế kỷ 20”.
Câu chuyện về Wiles trên con đường chứng minh định lý lớn Fermat được lưu truyền rất phô biến, có nhiều truyện kể khác nhau, nhưng tất cả đều thể hiện được ý chí nghị lực phi thường của con người để vượt qua những thách thức tưởng chừng như không thể.
A. Wiles thành công vang dội khi chứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat, chấm dứt 358 năm căng thẳng trong giới toán học quốc tế. Tuy nhiên, một kết quả mà những người “ngoại đạo” hoặc các nhà toán học nghiệp dư ít chú ý tới, nhưng lại có ý nghĩa to lớn hơn nhiều, đó là chứng minh Giả thuyết Taniyama - Shimura.
Giả thuyết Taniyama - Shimura được chứng minh có nghĩa hòn đá tảng của chương trình Langlands quả thật là vững chắc. Chương trình này mặc nhiên trở thành bản thiết kế xương sống cho nền toán học tương lai (xu hướng thống nhất toán học và xa hơn, đỉnh cao là khát vọng thống nhất khoa học).
Một loạt giả thuyết toán học của Chương trình này liên kết nhiều đối tượng có vẻ rất khác nhau trong các lĩnh vực toán học như lý thuyết số, hình học đại số, lý thuyết các dạng tự đẳng cấu... ngày càng thu hút sự chú ý của các nhà toán học hàng đầu, và dần dần trở thành dòng chủ lưu của toán học đương đại.
Việc gạt bỏ những vật cản trên dòng chảy chính ấy đã mang lại vinh quang cho nhiều nhà toán học: A. Wiles chứng minh thành công Định lý lớn Fermat, được tặng Giải thưởng Nghiên cứu Clay. V. Drinfeld thiết lập được tương ứng Langlands cho trường hàm trong trường hợp số chiều bằng 2; L. Lafforgue giải quyết trong trường hợp tổng quát; cả hai nhà toán học trẻ ấy đều được tặng Huy chương Fields.
Năm 1987, Langlands và cộng sự phỏng đoán về một tương tự tương ứng cho trường hàm trên trường phức, về sau, được gọi là tương ứng Langlands hình học. Để chứng minh được sự tồn tại của tương ứng đó, phải giải quyết một bài toán lớn mà lúc đầu Langlands chưa thấy hết mức độ phức tạp của nó, nên mới gọi là bổ đề cơ bản.
Thuật ngữ bổ đề (lemma) thường dùng để chỉ một cái gì đó dễ chứng minh, một kết quả kỹ thuật giản đơn cần thiết trên con đường chứng minh một định lý đích thực. Thế nhưng, trong trường hợp này, cụm từ bổ đề cơ bản (fundamental lemma) lại gắn liền với một giả thuyết quyết định, một bộ phận không thể tách rời của Chương trình Langlands, một “bổ đề” khó chứng minh đến mức mà 30 năm qua nhiều nhà toán học hàng đầu - kể cả cá nhân Langlands - đã ra sức lao vào giải quyết nhưng đều thất bại!
Qua đó, có thể thấy rằng Chương trình của do nhà toán học kiệt xuất Langlands khởi xướng sẽ được xây dựng nhờ một cuộc chạy tiếp sức của nhiều thế hệ các nhà khoa học, có thể mất nhiều thế kỉ để hoàn thiện. Và Ngô Bảo Châu, nhà toán học Việt Nam có thể nói là đã bắc cây cầu quan trọng nhất trong cuộc chinh phục này.
Chúng ta cùng tin tưởng viên ngọc Bảo Châu sẽ đứng trên đỉnh cao Toán học thế giới, làm rạng danh đất nước ta, dân tộc ta, thúc đẩy sự phát triển của khoa học nhân loại. Và dù kết quả thế nào thì sự nghiệp của ông mãi là tấm gương sáng cho các thế hệ mai sau trong những cuộc chinh phục mới!
Có thể xem bản tóm tắt của Ngô Bảo Châu về bổ đề cơ bản ở đây: Download
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét