Giả thuyết Riemann: lịch sử bài toán và những bước tiến gần đây

Bài viết này của J. Brian Conrey, Director of the American Institute of Mathematics, đăng trên Notices of the AMS (Match 2003). Bài báo vừa được nhận giải thưởng 2008 AMS Levi L. Conant cho các bài viết hay nhất trên các tờ Notices of the AMS và Bulletin of the AMS (http://www.ams.org/ams/press/conant-conrey-2008.htm) Bài viết cho một cái nhìn tổng quan về giả thuyết Riemann, từ lịch sử bài toán đến những bước tiến gần đây. Chúng tôi xin lược trích nửa đầu của bài báo, và bạn đọc quan tâm được khuyến khích đọc nguyên bản bài báo này tại địa chỉ http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf

Hilbert, tại đại hội Toán học Thế giới năm 1900 ở Paris, đã đưa Giả Thuyết Riemann vào danh sách 23 bài toán dành cho những nhà Toán học của thế kỷ 20. Bây giờ thì nó đang tiếp tục thách thức những nhà Toán học ở thế kỷ 21. Giả thuyết Riemann (RH - Riemann Hypothesis) đã tồn tại hơn 140 năm, và hiện tại cũng chưa hẳn là thời kỳ hấp dẫn nhất trong lịch sử bài toán. Tuy nhiên những năm gần đây đã chứng kiến một sự bùng nổ trong nghiên cứu bắt nguồn từ sự kết hợp giữa một số lĩnh vực trong Toán học và Vật lý.
Trong 6 năm qua, Viện Toán học Mỹ (AIM - American Institute of Mathematics) đã tài trợ cho 3 đề án tập trung vào RH. Nơi đầu tiên (RHI) là ở Seattle vào tháng 8 năm 1996 tại đại học Washington (University of Washington). Nơi thứ hai (RHII) là ở Vienna vào tháng 10 năm 1998 tại Viện Schrodinger (Erwin Schrodinger Institute), và nơi thứ ba (RHIII) là ở New York vào tháng 5 năm 2002 tại Viện Toán Courant (Courant Institute of Mathematical Sciences). Mục tiêu của 3 đề án này là để khích lệ nghiên cứu và thảo luận về một trong những thách thức lớn nhất của Toán học và để xem xét những hướng tiếp cận khác nhau. Liệu chúng ta có tiến gần hơn tới lời giải cho Giả thuyết Riemann sau các nỗ lực đó? Liệu có phải chúng ta đã học được nhiều điều về hàm zeta (zeta-function) từ các đề án đó? Điều đó là chắc chắn! Một số thành viên trong các đề án này đang tiếp tục cộng tác với nhau trên trang web (http://www.aimath.org/WWN/rh/), nơi cung cấp một cái nhìn tổng quan cho chủ đề này.
Ở đây tôi hi vọng phác thảo một số hướng tiếp cận tới RH và kể nhứng điều thú vị khi làm việc trong lĩnh vực này tại thời điểm hiện tại. Tôi bắt đầu với bản thân Giả thuyết Riemann. Năm 1859 trong một báo cáo seminar "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter eine gegebener Grosse", G. B. F. Riemann đã chỉ ra một số tính chất giải tích căn bản của hàm zeta

Chuỗi này hội tụ nếu phần thực của lớn hơn . Riemann chứng minh rằng có thể mở rộng bởi sự liên tục thành một hàm giải tích trên cả mặt phẳng phức ngoại trừ tại điểm (simple pole). Hơn nữa ông chứng minh rằng thỏa mãn một phương trình hàm thú vị mà dạng đối xứng của nó là

trong đó là hàm Gamma (Gamma-function).
Hình 1: với

Thật ra hàm zeta đã được nghiên cứu trước đó bởi Euler và một số người khác, nhưng chỉ như một hàm với biến số thực. Nói riêng, Euler chỉ ra rằng

trong đó tích vô hạn (gọi là tích Euler) lấy trên tất cả các số nguyên tố. Tích này hội tụ khi phần thực của lớn hơn . Đây là một phiên bản giải tích cho định lý cơ bản của số học, rằng mỗi số nguyên có thể phân tích một cách duy nhất thành các thừa số nguyên tố. Euler đã dùng tích này để chứng minh rằng tổng nghịch đảo của các số nguyên tố là không bị chặn. Chính tích Euler đã thu hút sự quan tâm của Riemann tới hàm zeta: khi đó ông đang cố gắng chứng minh một giả thuyết của Legendre, và trong một dạng chính xác hơn phát biểu bởi Gauss:

là số các số nguyên tố nhỏ hơn x

Riemann đã tạo ra một bước tiến lớn tới giả thuyết của Gauss. Ông nhận ra rằng số phân bố các số nguyên tố phụ thuộc vào sự phân bố các không điểm của hàm zeta. Tích Euler chứng tỏ không có không điểm nào của có phần thực lớn hơn ; và phương trình hàm chỉ ra không có không điểm nào có phần thực nhỏ hơn [Người dịch: do sự đối xứng] ngoài các không điểm tầm thường tại Do đó mọi không điểm phức phải nằm trong dải . Riemann đưa ra một công thức tường minh cho phụ thuộc vào các không điểm phức của . Một dạng đơn giản của công thức nói rằng

đúng nếu không phải là lũy thừa của một số nguyên tố, trong đó hàm von Mangoldt nếu với một số nguyên nào đó và nếu ngược lại. Chú ý rằng tổng này không hội tụ tuyệt đối (nếu vậy thì phải liên tục theo nhưng điều này rõ ràng không đúng). Do đó phải có nhiều vô hạn các không điểm . Ở đây tổng tính trên với số bội và được hiểu là . Chú ý rằng ; do đó cần chỉ ra để chứng minh rằng , một cách phát biểu khác của giả thuyết Gauss.

Hình 2. Biểu đồ viền , đường (đậm), (chấm), biểu đồ viền

Hình 3. Biểu đồ 3D của , đường (đường chấm)

Phương trình hàm ta nói ban đầu chỉ ra rằng các không điểm phức phải đối xứng với đường thẳng . Riemann đã tính một số không điểm phức đầu tiên: , và chứng tỏ rằng , số các không điểm với phần ảo nằm giữa và , là

trong đó được tính bởi biến phân liên tục bắt đầu từ dọc theo các đường thẳng tới rồi . Riemann cũng chứng minh rằng . Chú ý: ta sẽ thấy sau này rằng bước nhảy giữa các không điểm là . Riemann cũng dự đoán rằng số các không điểm của với là khoảng và sau đó nêu ra giả thuyết rằng mỗi không điểm của thực sự đều nằm trên đường thẳng ; đó chính là giả thuyết Riemann.
Các nỗ lực của Riemann đã tiến gần đến việc chứng minh giả thuyết của Gauss. Bước cuối cùng được hoàn tất bởi Hadamard và de la Vallée Poussin, hai người đã chứng minh độc lập nhau trong năm 1896 rằng khác không khi phần thực của bằng 1, và từ đó dẫn tới kết luận khẳng định cho giả thuyết của Gauss, bây giờ được gọi là định lý số nguyên tố (Prime Number Theorem).
Hình 4. Biến đổi Fourier của phần sai số trong Định lý số nguyên tố và với

Các ý tưởng đầu tiên
Không mấy khó khăn để chứng tỏ RH (Riemann Hypothesis) tương đương với khẳng định rằng với mọi

Tuy nhiên khó khăn nằm ở chỗ tìm ra một cách tiếp cận khác với và thu các thông tin về các không điểm.
Một tương đương dễ thấy khác của RH là khẳng định với mọi , trong đó

và là hàm Mobius được định nghĩa từ chuỗi Dirichlet sinh

Vậy nếu là các số nguyên tố phân biệt thì ; và nếu chia hết cho với một số nguyên tố nào đó. Chuỗi này hội tụ tuyệt đối khi . Nếu ước lượng đúng với mọi thì bằng cách lấy các tổng riêng phân ta thấy chuỗi hội tụ với mọi có phần thực lớn hơn ; nói riêng không có không điểm nào của nằm trên nửa mặt phẳng mở này, bởi vì không điểm của là điểm kỳ dị (poles) của [Người dịch: và do tính đối xứng nên cũng dẫn đến không có không điểm nào nằm trên nửa mặt phẳng mở , và do đó mỗi không điểm đều chỉ nằm trên đường thẳng ]. Ngược lại, RH suy ra ước lượng này cho , điều này cũng không khó để chứng minh.

Hình 5. với và

Thay vì phân tích trực tiếp , có vẻ sẽ dễ dàng hơn khi làm việc với và chứng minh ước lượng ở trên. Thật ra, Stieltjes đã thông báo rằng ông có một chứng minh như vậy. Hadamard, trong chứng minh nổi tiếng năm 1896 về Prime Number Theorem, đã dẫn ra tuyên bố của Stieltjes. Hadarmard nói rằng định lý của ông yếu hơn nhiều, và chỉ chứng minh khác trên đường thẳng , nhưng hi vọng tính đơn giản của chứng minh sẽ có ích. Stieltjes, tuy nhiên, sau đó không bao giờ công bố chứng minh của mình.

Mertens dự đoán một giả thuyết mạnh hơn rằng

Điều rõ ràng dẫn đến RH. Tuy nhiên giả thuyết của Mertens đã bị chứng minh là sai bởi Odlyzko và te Riele năm 1985. Ước lượng thậm chí đã dùng RH như một lá chắn: ông từng gửi bưu thiếp tới đồng nghiệp Harald Bohr trước khi qua English Channel trong một đêm bão tố, tuyên bố là ông đã chứng minh xong RH. Thậm chí Hardy là một người vô thần, ông cũng tin một cách tương đối về Chúa, rằng nếu Chúa tồn tại, cũng chẳng để thành tựu tới trong một hoàn cảnh như vậy!
Hilbert có vẻ hơi mâu thuẫn khi nhìn nhận về độ khó của RH. Một lần ông so sánh ba bài toán mở: tính siêu việt của , định lý lớn Fermat, và giả thuyết Riemann. Theo quan điểm của ông, RH có thể sẽ được giải trong vài năm, định lý lớn Fermat có thể được giải khi ông còn sống, và câu hỏi về sự siêu việt có thể sẽ không bao giờ được trả lời. Đáng ngạc nhiên là câu hỏi về sự siêu việt được giải trong vài năm sau đó bởi Gelfond và Schneider, và, dĩ nhiên, Andrew Wiles gần đây đã chứng minh định lý lớn Fermat [Người dịch: vậy nếu đảo ngược dự đoán của Hilbert thì có thể RH sẽ không bao giờ được giải]. Tuy nhiên trong một dịp khác Hilbert lại nói rằng nếu ông ta sống lại sau một giấc ngủ 500 năm thì câu hỏi đầu tiên sẽ là: RH có được giải hay chưa.
Khi gần kết thúc sự nghiệp, Hans Rademacher, người được biết bởi công thức chính xác cho số các cách phân hoạch một số nguyên, nghĩ rằng ông đã có một phần chứng minh cho RH. Siegel đã kiểm tra kết quả này, công việc dựa trên kết luận rằng một hàm nhất định sẽ có một nới rộng giải tích bởi liên tục nếu RH đúng. Cộng đồng Toán học đã cố gắng làm cho Tạp chí Time (Time magazine) quan tâm câu chuyện. Time đã thích thú và đăng một bài báo sau khi người ta tìm ra lỗi sai trong chứng minh của Rademacher.

Các chứng cứ của giả thuyết Riemann
Hình 6. Công thức chính xác của sử dụng 100 cặp không điểm đầu tiên

Sau đây là một số lý do để tin vào RH:
Hàng tỉ không điểm không thể sai. Gần đây, van de Lune đã chỉ ra 10 tỉ không điểm đầu tiên nằm trên đường thẳng . Ngoài ra, một dự án với sự chung sức nhiều máy tính tổ chức bởi Sebastian Wedeniwski, chương trình đã được nhiều người hưởng ứng, đã khẳng định rằng họ đã kiểm tra 100 tỉ không điểm đầu tiên nằm trên đường thẳng đó. Andrew Odlyzko đã tính hàng triệu không điểm gần các không điểm thứ , và (có thể xem trên website của ông).
Hầu hết tất cả các không điểm đều nằm rất gần đường thẳng . Thật sự người ta đã chứng minh rằng có hơn 99 phần trăm các không điểm thỏa mãn .
Người ta đã chứng minh có rất nhiều không điểm nằm trên đường thẳng . Selberg đạt được một tỉ lệ dương, và N. Levinson chỉ ra ít nhất là 1/3; tỉ lệ này sau đó được cải thiện lên 40 phần trăm. Ngoài ra RH cũng ngụ ý rằng mỗi không điểm của mọi đạo hàm của nằm trên đường thẳng . Người ta đã chứng minh được rằng có nhiều hơn 99 phần trăm các không điểm của đạo hàm bậc ba nằm trên đường thẳng . Lúc gần cuối đời Levinson nghĩ rằng ông có một phương pháp cho phép đảo ngược định lý Rolle trong trường hợp này, tức là nếu có ít nhất một tỉ lệ dương các không điểm nằm trên đường thẳng đó thì điều này cũng đúng với , và tương tự với , ... Tuy nhiên chưa ai có thể hiện thực hóa ý tưởng của ông.
Phương pháp thống kê. Với ít hầu hết các dãy ngẫu nhiên gồm và , hàm tổng tương ứng của bị chặn bởi . Dãy Mobius có vẻ khá ngẫu nhiên.
Sự đối xứng của các số nguyên tố. RH nói rằng các số nguyên tố phân bố theo cách đẹp nhất có thể. Nếu RH sai thì sẽ có những điều bất thường trong sự phân bố các số nguyên tố; không điểm đầu tiên có phần thực khác chắc chắn sẽ là một hằng số toán học rất quan trọng. Tuy nhiên, có vẻ tự nhiên không khắc nghiệt tới như vậy!

Phan Thành Nam dịch (đăng trên mathvn.org)