Chương trình Langlands và vật lý (Đàm Thanh Sơn)

Bài viết "Chương trình Langlands và vật lý" của GS-TS. Đàm Thanh Sơn - một người bạn của Ngô Bảo Châu. Đàm Thanh Sơn là nhà Vật lý trẻ tuổi tài năng của Việt Nam, hiện đang giảng dạy ở ĐH Washington, Mỹ.
Trước hết, chúng ta nhắc lại một số thức phổ thông về tương tác điện từ.
Chắc ai cũng nhớ định luật Coulomb: hai điện tích và tương tác với nhau bằng lực

Nếu va cùng dấu thì đây là lực đẩy, còn nếu và ngược dấu thì nó là lực hút. Ta sẽ viết công thức này theo một cách khác. Do công (tức là năng lượng) = lực quãng đường, thế năng giữa hai hạt đó bằng:

Bây giờ giả sử ta giam hai hạt có điện tích ở trong một cái hộp có kích thước mỗi chiều là .

Theo công thức trên thế năng của hai hạt là khoảng . Động năng thì là bao nhiêu? Theo lý thuyết lượng tử, khi một hạt bị giam vào một cái hộp như vậy, thì nó không thể nào đứng yên. Nguyên lý bất định của Heisenberg cho biết là xung lượng của hạt này phải lớn hơn , trong đó là hằng số Planck: .
Một hạt có xung lượng thì phải có năng lượng. Theo quan điểm của thuyết tương đối thì năng lượng và xung lượng được hợp nhất thành một vectơ 4 chiều: , trong đó là tốc độ ánh sáng.  Không gian này là không gian Minkowski, ở đó độ dài của véctơ đó là (chú ý dấu trừ!). Một hạt có khối lượng là thì độ dài của véctơ này là :

Giả sử kích thước của hộp rất nhỏ, khi đó lớn hơn nhiều , và .
Như vậy nếu ta có hai hạt bị giam vào một hộp kích thước , động năng của chúng ít nhất sẽ là , và thế năng là . Tỷ lệ (thế năng)/(động năng) bằng , không phụ thuộc và kích thước của hộp. Thay thế giá trị của , , trong tự nhiên vào, con số này bằng 1/137 (chính xác hơn là 1/137.036)  Thế năng nhỏ hơn động năng khoảng 100 lần. Đây là một hằng số cơ bản của tự nhiên, vì lý do lịch sử, nó được gọi là “hằng số cấu trúc tinh tế”. Hầu như tất cả mọi thứ quanh ta (kể cả hóa học, sinh vật học) đều phụ thuộc vào hằng số này. Ví dụ ta có khoảng 100 nguyên tố hóa học trong bảng tuần hoàn chính là do nghịch đảo của hằng số này bằng khoảng 100.
Tuy thế trong tự nhiên có một điểm rất lạ mà không ai giải thích được: đó là điện tích của tất cả các hạt đều bằng một số nguyên nhân cho điện tích cơ bản. Điện tích cơ bản là 1/3 điện tích electron. Các hạt quark có thể có điện tích 2 lần hay 1 lần điện tích cơ bản nhưng không có hạt nào có điện tích, ví dụ, bằng 1/4 hay lần điện tích của electron.
Tại sao lại như vậy? Năm 1931 Paul Dirac đưa ra một lời giải thích hết sức đặc sắc. Ông ta giả thiết thế giới không những chỉ có điện tích, mà có cả “từ tích”. Từ tích, hay còn gọi là đơn cực từ, là nguồn của từ trường. Bình thường một nam châm bao giờ cũng có cực bắc và cực nam.

Ta cứ tưởng tượng có thể tách hai cực của nam châm ra khỏi nhau, thì hai phần đó là hai đơn cực từ. Đơn cực từ chỉ mang một cực, hoặc là bắc, hoặc là nam, cũng như điện tích có thể dương, có thể âm.

Ta sẽ bàn việc đơn cực từ có tồn tại thật trong vũ trụ không sau đây một chút.
Hai đơn cực từ cũng tương tác với nhau giống như định luât Coulomb, nhưng ta thay điện tích bằng từ tích: . Nhưng Dỉrac tìm ra là khi ta lấy một cặp bất kỳ bao gồm một điện tích và một từ tích , cơ học lượng tử đòi hỏi tích của và phải là một số nguyên lần :

Như vậy chỉ cần trong vũ trụ có một từ tích có giá trị bằng , thì tất cả các điện tích phải là bội của . Điều này giải thích tại sao các điện tích phải là bội của một điện tích cơ bản. Ngược lại, nếu là điện tích nhỏ nhất trong thiên nhiên, thì tất cả các từ tích phải là bội của .
Lời giải thích này của Dỉrac hết sức thông minh, nhưng cho đến nay ta vẫn chưa tìm thấy từ tích nào trong vũ trụ. Cũng có thể chúng rất nặng, nên các máy gia tốc chưa tạo ra được chúng.
Nhưng trên giấy các nhà vật lý lý thuyết có thể “sáng tạo” ra những thế giới mới trong đó có cả điện tích lẫn từ tích. Một trong những thế giới này gọi là “N=4 supersymmetric Yang-Mills theory” (N=4 SYM), một lý thuyết trường có nhiều tính chất lý thú. Một trong những tính chất này được các nhà vật lý gọi là “đối ngẫu”: người ta nghĩ rằng N=4 SYM với điện tích cơ bản và từ tích cơ bản bằng có thể biến đổi thành N=4 SYM với điện tích cơ bản , từ tích cơ bản , bằng một phép đổi biến.  Đối ngẫu này trong vật lý được gọi là đối ngẫu điện từ, hay đối ngẫu Montonen-Olive, hay đối ngẫu S. Nó là một giả thuyết chưa ai chứng minh được chặt chẽ, mặc dù có nhiều lý do để ta tin nó là đúng.
Theo lời kể của Edward Witten thì năm 2004, sau khi nghe Ben-Zvi, ông ta đã hiểu rằng đối ngẫu Montonen-Olive này có liên quan đến đối ngẫu Langlands hình học.  Sau đó Kapustin và Witten viết một bài báo dài hơn 200 trang giải thích sự liên quan này. Tất cả những điều này tôi chỉ biết rất lờ mờ thôi, nhưng có vẻ chương trình Langlands có liên hệ mật thiết với một số tính chất cơ bản, và còn phần nào bí hiểm, của một số lý thuyết trường. Kapustin và Witten viết: “the geometric Langlands program for complex surfaces… can be understood as a chapter in quantum field theory.”
Xin cáo lỗi các bạn vì không thể giải thích công trình của Kapustin và Witten chi tiết hơn được. Hy vọng đến một lúc nào đó tôi sẽ hiểu tốt hơn.
Có thể trong tương lai công trình của Ngô Bảo Châu sẽ nằm trong cơ sở của các sách giáo khoa vật lý!

Theo Đàm Thanh Sơn